Um die Fallzeit des Besenstiels mit der Länge l=1.28(m) zu bestimmen, wurden auf dem Boden eine Markierung neben den Schreibtisch gemacht um den Besenstiel immer vom gleichen Ort fallen lasse zu können. Auf dem Schreibtisch wurden 5 verschiedene Markierungen geklebt um verschiedene Winkel messen zu können (siehe Foto 1). Anschließend wurden mithilfe von der App “iLevel” die Winkel bestimmt und pro Winkel werden nun jeweils 5 Fallzeiten manuell aufgenommen (siehe Tabelle 1).

englische Variante

Zunächst zur allg. Berechnung des Winkels in Abhgkt. zur Zeit

ExplizitesEulerVerfahren.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
 
#Variablen und Konstanten
tmax=2
dt=0.01 #10 ms
g=9.81
l=1.45 # m
tau=math.sqrt(2*l/(3*g))
vPhi0=0 #zero initial phi-velocity
phi0=0.25
 
t=[]
phi=[]
vPhi=[]
 
# initial values
phi.append(phi0)
vPhi.append(vPhi0)
i=0
 
#Explizites Euler Verfahren/ Iteration
while True:
    vPhi.append(vPhi[i] +dt*math.sin(phi[i])/(tau**2))
    phi.append(phi[i]+dt*vPhi[i])
 
    i+=1
 
    if phi[i] >= math.pi/2:
        break
 
# Berechnung Auftreffzeitpunkt
tmax=len(phi)*dt
print(tmax)
 
#erzeuge Zeiten
t=np.arange(0,tmax,dt)
 
# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
fig.set_tight_layout(True)
 
# Plotte das Winkel-Zeit-Diagramm.
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_xlabel("t [s]")
ax1.set_ylabel("phi [rad]")
ax1.grid()
#ax1.plot(t, vPhi, ".b", label="Vphi")
ax1.plot(t, phi, ".r", label="Phi")
ax1.legend()
 
plt.show()

StartwinkelFallzeit.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
 
#variables and constants
tmax=2
dt=0.01 #stepsize
g=9.81
l=1.45 # m
tau=math.sqrt(2*l/(3*g))
vPhi0=0 #zero initial phi-velocity
 
#method to solve the diff-eq.
def solver2(phi0,stepT):
    t=[] #generate lists
    phi=[]
    vPhi=[]
 
    # initial values
    phi.append(phi0)
    vPhi.append(vPhi0)
    i=0
 
    while True: #iterations according to Euler
        vPhi.append(vPhi[i] +stepT*math.sin(phi[i])/(tau**2))
        phi.append(phi[i]+stepT*vPhi[i])
 
        i+=1 #next step
 
        if phi[i] >= math.pi/2: # stick has reached ground at 90°
            break
 
    tmax=len(phi)*stepT #calculate elapsed time
    t=np.arange(0,tmax,stepT)
    return (tmax,t,phi) #return tupel with fall-time + time and angle arrays
 
#initial angles  
initPhi=np.arange(0.25,1.3,0.05)
 
def calcTs(step): #calc the fall time for different initial phi
    ts=[]
 
    for i in initPhi: #generate list of times
        ts.append(solver2(i,step)[0]) #first element in return tuple is tmax
 
    return ts
 
 
steps=np.array([0.1,0.05,0.01,0.001])
 
times=[]
for m in steps:
    times.append(calcTs(m))
 
 
# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure(figsize=(7, 5))
fig.set_tight_layout(True)
 
# Plotte das Diagramm.
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_xlabel("phi0 [rad]")
ax1.set_ylabel("T [s]")
ax1.grid()
 
ax1.plot(initPhi, times[0], ".b", label=f"dt={steps[0]}")
ax1.plot(initPhi, times[1], ".r", label=f"dt={steps[1]}")
ax1.plot(initPhi, times[2], ".g", label=f"dt={steps[2]}")
ax1.plot(initPhi, times[3], "xm", label=f"dt={steps[3]}")
ax1.legend()
 
#anzeigen
plt.show()