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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe352:start [ 1 January 2021 14:35] – [Computerprogramm] mariusburgatha_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe352:start [ 7 January 2021 18:32] (current) – [Besenstiel -- Gruppe 352] mariusburgath
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 ================ Besenstiel -- Gruppe 352 ================  ================ Besenstiel -- Gruppe 352 ================ 
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-**Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath** \\+**Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath, Matr.Nr.: 10028062** \\
 Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 22:17 \\ Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 22:17 \\
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 phi[0.25,1/100,1.45,0.82]  </code>\\ phi[0.25,1/100,1.45,0.82]  </code>\\
-Als **Output** liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Man sieht also, dass in guter Näherung der Winkel $\phi = \pi$/2 rad erreicht ist, was bedeutet, dass der Stab auf den Boden trifft. Damit ist in etwa t = 0,82 s =: T die Fallzeit des Stabes. Dies lässt sich mit Abbildung 3 der Versuchsanleitung verifizieren, denn auch dort lässt sich für die entsprechenden Parameter von $\phi_0$, l und $\Delta$t eine Fallzeit von etwa T = 0,82 s ablesen. Das Programm scheint zu funktionieren. Es ergibt sich bei den gleichen Parameterwerten sogar der gleiche Wert für den Winkel, wie er eben bei der "händischen Implementierung ohne NDSolve" ermittelt wurde. **Mathematica scheint also bei der Methode "EulerStep" tatsächlich einen sehr ähnlichen Algorithmus zu dem von mir "händisch" implementierten Zeitschrittverfahren zu benutzen!**\\ +Als **Output** liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Man sieht also, dass in guter Näherung der Winkel $\phi = \pi$/2 rad erreicht ist, was bedeutet, dass der Stab auf den Boden trifft. Damit ist in etwa $t$ = 0,82 s =: $T$ die Fallzeit des Stabes. Dies lässt sich mit Abbildung 3 der Versuchsanleitung verifizieren, denn auch dort lässt sich für die entsprechenden Parameter von $\phi_0$, $l$ und $\Delta t$ eine Fallzeit von etwa $T$ = 0,82 s ablesen. Das Programm scheint zu funktionieren. Es ergibt sich bei den gleichen Parameterwerten sogar der gleiche Wert für den Winkel, wie er eben bei der "händischen Implementierung ohne NDSolve" ermittelt wurde. **Mathematica scheint also bei der Methode "EulerStep" tatsächlich einen sehr ähnlichen Algorithmus zu dem von mir "händisch" implementierten Zeitschrittverfahren zu benutzen!**\\ 
-Obige Funktion "phi" lässt sich nun bei festen $\phi_0$, l und $\Delta$t nach der Fallzeit auflösen, da nach dieser Zeit stets $\phi = \pi$/2 gilt:\\+Obige Funktion "phi" lässt sich nun bei festen $\phi_0$, $l$ und $\Delta t$ nach der Fallzeit auflösen, da nach dieser Zeit stets $\phi = \pi$/2 gilt:\\
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 fallzeit[a_,b_,c_]:=t/.FindRoot[phi[a,b,c,t] == Pi/2,{t,0.1}] </code>\\ fallzeit[a_,b_,c_]:=t/.FindRoot[phi[a,b,c,t] == Pi/2,{t,0.1}] </code>\\
-Für die bereits genutzten Parameter von $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms als Schrittweite sowie l = 1,45 m ergibt sich:\\+Für die bereits genutzten Parameter von $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms als Schrittweite sowie $l$ = 1,45 m ergibt sich:\\
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 fallzeit[0.25,1/100,1.45] </code>\\ fallzeit[0.25,1/100,1.45] </code>\\
-Mathematica liefert als Output T = 0.823999 ,was in sehr guter Nähe zu der bereits bekannten und erwartbare Fallzeit von T $\approx$ 0,82 s liegt, die sich auch an Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung ablesen lässt.\\ +Mathematica liefert als **Output** $T$ = 0.823999 ,was in sehr guter Nähe zu der bereits bekannten und erwartbare Fallzeit von $T \approx$ 0,82 s liegt, die sich auch an Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung ablesen lässt.\\ 
-Wenn $\Delta$t = 10 ms und l = 1,45 m festgehalten werden, so lässt sich über einen Listplot eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen, indem verschiedenen Anfangswinkeln $\phi_0$ die Fallzeiten zugeordnet werden. Das Programm scheint also zu funktionieren:\\+Wenn $\Delta t$ = 10 ms und $l$ = 1,45 m festgehalten werden, so lässt sich über einen ListPlot eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen, indem verschiedenen Anfangswinkeln $\phi_0$ die Fallzeiten zugeordnet werden. Das Programm scheint also zu funktionieren:\\
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 ListPlot[Table[{phi0,fallzeit[phi0,1/100,1.45]},{phi0,0.2,1.25,0.025}], ListPlot[Table[{phi0,fallzeit[phi0,1/100,1.45]},{phi0,0.2,1.25,0.025}],
  PlotLabel->"Fallzeit für unterschiedliche Anfangswinkel",   PlotLabel->"Fallzeit für unterschiedliche Anfangswinkel", 
  AxesLabel->{"Startwinkel/rad", "Fallzeit/s"}] </code>\\  AxesLabel->{"Startwinkel/rad", "Fallzeit/s"}] </code>\\
-Mathematica liefert als Output die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\+Mathematica liefert als **Output** die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\
 {{mit_ndsolve.jpg?500}}\\ {{mit_ndsolve.jpg?500}}\\
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-Mit Mathematica ergeben sich also zwei verschiedene Möglichkeiten für die numerische Lösung mit Zeitschrittverfahren, die beide auf entsprechende Fallzeiten sowie eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung führen. Schlussendlich für die weitere Auswertung habe ich mich für die **erste Möglichkeit** entschieden, also das "händische Implementieren" ohne NDSolve. Der erste Grund dafür ist, dass ich zum einen nicht genau herausfinden konnte, ob die in Mathematica eingebautete Methode "ExplicitEuler" tatsächlich das in der Aufgabe vorgegebene Zeitschrittverfahren nutzt, oder doch eine leicht abgeänderte Variante. Der zweite Grund ist, dass mir das Arbeiten mit den Listen bzw. Punktepaaren bei der ersten Methode etwas einfacher gefallen ist.+>>>Mit Mathematica ergeben sich also zwei verschiedene Möglichkeiten für die numerische Lösung mit Zeitschrittverfahren, die beide auf entsprechende Fallzeiten sowie eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung führen. Schlussendlich für die weitere Auswertung habe ich mich für die **erste Möglichkeit** entschieden, also das "händische Implementieren" ohne NDSolve. Der erste Grund dafür ist, dass ich zum einen nicht genau herausfinden konnte, ob die in Mathematica eingebautete Methode "ExplicitEuler" tatsächlich das in der Aufgabe vorgegebene Zeitschrittverfahren nutzt, oder doch eine leicht abgeänderte Variante. Der zweite Grund ist, dass mir das Arbeiten mit den Listen bzw. Punktepaaren bei der ersten Methode etwas einfacher gefallen ist. Außerdem habe ich in dem ersten Verfahren ohne NDSolve die Wiederholungen bzw. Iterationen des Zeitschrittverfahrens wirklich "selbst" programmiert, eben ohne den eingebauten Befehl zum Lösen von Gleichungen. **In meinem Versuchsbericht wird die zweite Methode hier also nicht berücksichtigt**, sondern ich nutze nur das Verfahren ohne den NDSolve-Befehl zur Auswertung. Im Zuge dessen wird dann u.a. auch der Einfluss unterschiedlich langer Zeitschritte untersucht.
 ========= Versuchsdurchführung/aufbau mit Bildern ========= ========= Versuchsdurchführung/aufbau mit Bildern =========
  
 Die Messung der Kippbewegung des Stabes habe ich mit zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt:\\ Die Messung der Kippbewegung des Stabes habe ich mit zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt:\\
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-**1.)** Mit einem "echten Besenstiel" mit einer Länge von l = 1,505 m.\\+**1.)** Mit einem "echten Besenstiel" mit einer Länge von $l$ = 1,505 m.\\
 {{langer_stab-min.jpg?500}}\\ {{langer_stab-min.jpg?500}}\\
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-**2.)** Mit einem anderen, kürzeren Holzstab der Länge l = 1,223 m. Dieser ist dünner als ein herkömmlicher Besenstiel und wurd vmtl. als Rankhilfe für Gewächse genutzt.\\+**2.)** Mit einem anderen, kürzeren Holzstab der Länge $l$ = 1,223 m. Dieser ist dünner als ein herkömmlicher Besenstiel und wurd vmtl. als Rankhilfe für Gewächse genutzt.\\
 {{kurzer_stab-min.jpg?500}}\\ {{kurzer_stab-min.jpg?500}}\\
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 Dieses hatte eine Dicke von nur etwa 1-2 cm und sollte die Messungen nicht nennenswert beeinflussen.\\ Dieses hatte eine Dicke von nur etwa 1-2 cm und sollte die Messungen nicht nennenswert beeinflussen.\\
-Die möglichst reine Fallbewegung war also realisiert. Nun ging es darum, die Falldauer T sowie den Anfangswinkel $\phi_0$ des Stabes zu messen. Für den Anfangswinkel habe ich mir eine große Winkelscheibe ausgedruckt, auf Pappe geklebt und genau hinter das Vliesstück gestellt:\\+Die möglichst reine Fallbewegung war also realisiert. Nun ging es darum, die Falldauer $T$ sowie den Anfangswinkel $\phi_0$ des Stabes zu messen. Für den Anfangswinkel habe ich mir eine große Winkelscheibe ausgedruckt, auf Pappe geklebt und genau hinter das Vliesstück gestellt:\\
 {{Winkelscheibe.jpg?500}}\\ {{Winkelscheibe.jpg?500}}\\
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 {{Stab Winkelscheibe.jpg?500}}\\ {{Stab Winkelscheibe.jpg?500}}\\
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-Aufgrund der Orientierungsstriche habe ich für die Messungen stets gut ablesbare Anfangswinkel (10°, 20°, 30°,...) genutzt. An dieser Stelle sei gesagt, dass die Winkelmessung der ungenauste Teil meiner Messung ist, alleine schon wegen der endlichen Stabdicke. Darüber hinaus war es nicht einfach, den Stab fest in einer bestimmten Anfangsposition zu halten und dann auch noch die Zeit zu messen. Als Winkelunsicherheit habe ich deshalb etwa 4° veranschlagt - genaueres dazu in dem Versuchsbericht.\\ +Aufgrund der Orientierungsstriche habe ich für die Messungen stets gut ablesbare Anfangswinkel (10°, 20°, 30°,...) genutzt. An dieser Stelle sei gesagt, dass die Winkelmessung der ungenauste Teil meiner Messung ist, alleine schon wegen der endlichen Stabdicke. Darüber hinaus war es nicht einfach, den Stab fest in einer bestimmten Anfangsposition zu halten und dann auch noch die Zeit zu messen. Aus diesem Grund habe ich auch nur bis hoch zu 70° als Anfangswinkel gemessen - bei größeren Winkeln lies sich der Besenstiel nicht mehr gut in einer Anfangsposition fixieren. Als Winkelunsicherheit habe ich etwa 3° veranschlagt - genaueres dazu in dem Versuchsbericht.\\ 
-Nun galt es noch die Fallzeit des Stabes zu messen. Um die recht kurzen Zeitmessungen mit meiner Schrecksekunde nicht zu stark zu beeinflussen, habe ich nicht per Hand gestoppt, sondern mit der akustischen Stoppuhr der Handy-App **phyphox**. Diese wird durch ein akustisches Ereignis ausgelöst und stoppt bei einem nächsten akustischen Ereignis. Das Auslösungsgeräusch habe ich durch einen kurzen Schlag mit einem Stift auf den Boden erzeugt. Dabei habe ich versucht, den Stab möglichst synchron und **ohne Anschubstoß** (weil die Untersuchung ja ohne Anfangsgeschwindigkeit erfolgen soll) fallen zu lasse. Das war nicht einfach. Gestoppt wurde die Zeitmessung dann durch das Aufprallgeräusch des Stabes auf den Boden bzw. die schützende Textilschicht auf dem Boden. Das Geräusch davon war deutlich zu hören und die akustische Stoppuhr wurde entsprechend gestoppt. Nun wird auch klar, warum ich den Versuch auf dem Boden durchgeführt habe: Zuerst wollte ich nämlich die akustischen Aufnahmen am PC ausführen (u.a. wegen besserem/genauerem Mikrofon als das Handy). Den Versuch selbst könnte ich aber nicht auf dem Schreibtisch ausführen, denn es kam zu Vibrationen (diese habe das Mikrofon "gtriggert") und zudem hatte ich auch nicht genug Platz. Beim massiven Boden gab es diese Probleme nicht. Da ich die akustische Stoppuhr möglichst Nahe am Versuchsaufbau nutzen wollte, habe ich schlussendlich mit dem Handy akustisch gestoppt. Eine Behandlung entsprechender Unsicherheiten der Zeitmessung ist im Versuchsbericht zu finden. Durchgeführt habe ich für jeden Anfangswinkel fünf Messungen, um bei der Auswertung mitteln zu können. Messwerte, bei denen die Stoppuhr aufgrund externer Umgebungsgeräusche falsch gestoppt hat oder bei denen ich dem Stab versehentlich einen Anfangsstoß gegeben habe, habe ich bewusst verworfen und die Messung entsprechend wiederholt.\\+Nun galt es noch die Fallzeit des Stabes zu messen. Um die recht kurzen Zeitmessungen mit meiner Schrecksekunde nicht zu stark zu beeinflussen, habe ich nicht per Hand gestoppt, sondern mit der akustischen Stoppuhr der Handy-App **phyphox**. Diese wird durch ein akustisches Ereignis ausgelöst und stoppt bei einem nächsten akustischen Ereignis. Das Auslösungsgeräusch habe ich durch einen kurzen Schlag mit einem Stift auf den Boden erzeugt. Dabei habe ich versucht, den Stab möglichst synchron und **ohne Anschubstoß** (weil die Untersuchung ja ohne Anfangsgeschwindigkeit erfolgen soll) fallen zu lassen. Das war nicht einfach. Gestoppt wurde die Zeitmessung dann durch das Aufprallgeräusch des Stabes auf den Boden bzw. die schützende Textilschicht auf dem Boden. Das Geräusch davon war deutlich zu hören und die akustische Stoppuhr wurde entsprechend gestoppt. Nun wird auch klar, warum ich den Versuch auf dem Boden durchgeführt habe: Zuerst wollte ich nämlich die akustischen Aufnahmen am PC ausführen (u.a. wegen besserem/genauerem Mikrofon als das Handy). Den Versuch selbst konnte ich aber nicht auf dem Schreibtisch ausführen, denn es kam zu Vibrationen (diese haben das Mikrofon "getriggert") und zudem hatte ich auch nicht genug Platz. Beim massiven Boden gab es diese Probleme nicht. Da ich die akustische Stoppuhr möglichst Nahe am Versuchsaufbau nutzen wollte, habe ich schlussendlich mit dem Handy akustisch gestoppt. Eine Behandlung entsprechender Unsicherheiten der Zeitmessung ist im Versuchsbericht zu finden. Durchgeführt habe ich für jeden Anfangswinkel fünf Messungen, um bei der Auswertung mitteln zu können. Messwerte, bei denen die Stoppuhr aufgrund externer Umgebungsgeräusche falsch gestoppt hat oder bei denen ich dem Stab versehentlich einen Anfangsstoß gegeben habe, habe ich bewusst verworfen und die Messung entsprechend wiederholt. Die aufgenommenen Messwerte finden sich im nächsten Kapitel dieses "Wiki-Logbuchs".\\
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 **Analog habe ich die Messungen für den zweiten, kürzeren Holzstab durchgeführt.** Es gab lediglich zwei kleine Abänderungen im Versuchsaufbau: Da der kleinere Holzstab anders als der große Besenstiel kein angespitztes Ende hatte, kam es trotz der Verwendung von Malervlies als Untergrund zu einer nicht vernachlässigbaren Rutschbewegung. Aus diesem Grund habe ich in das eine Ende des Holzstabes mittig einen kurzen, dünnen Nagel geschlagen:\\ **Analog habe ich die Messungen für den zweiten, kürzeren Holzstab durchgeführt.** Es gab lediglich zwei kleine Abänderungen im Versuchsaufbau: Da der kleinere Holzstab anders als der große Besenstiel kein angespitztes Ende hatte, kam es trotz der Verwendung von Malervlies als Untergrund zu einer nicht vernachlässigbaren Rutschbewegung. Aus diesem Grund habe ich in das eine Ende des Holzstabes mittig einen kurzen, dünnen Nagel geschlagen:\\
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 {{Winkel kleiner Stab.jpg?500}}\\ {{Winkel kleiner Stab.jpg?500}}\\
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-Beim kleinen Stab lies sich der Winkel genauer ablesen als beim großen Stab vom ersten Versuch, da der kleine Holzstab dünner war. Alle anderen Messungen wurden für den kleinen Stab exakt so wie beim großen Besenstiel durchgeführt. Allgemein fielen mir die Messungen mit dem kleinen Stab deutlich leichter, da dieser sich aufgrund seines geringeren Gewichts wesentlich besser in einer bestimmten Anfangsposition festhalten lies.+Beim kleinen Stab ließ sich der Winkel genauer ablesen als beim großen Stab vom ersten Versuch, da der kleine Holzstab dünner war. Alle anderen Messungen wurden für den kleinen Stab exakt so wie beim großen Besenstiel durchgeführt. Allgemein fielen mir die Messungen mit dem kleinen Stab deutlich leichter, da dieser sich aufgrund seines geringeren Gewichts wesentlich besser in einer bestimmten Anfangsposition festhalten ließ. Dokumentation der Messwerte im nächsten Kapitel dieses "Wiki-Logbuchs". 
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 +In einer letzten Versuchsreihe sollte noch der Einfluss der Luftreibung untersucht werden. Da ich bei mir natürlich kein Vakuum oder Ähnliches erzeugen konnte, habe ich oben an dem kurzen Stab eine etwas gewelltes, sehr leichtes Stück Pappe angebracht. Dieses erzeugt eine hohe Querschnittsfläche an der Stabspitze, die dann entsprechend viel Angriffsfläche für die Luftreibung bietet. Damit die anderen Stabparameter sich nicht verändern, habe ich ein sehr leichtes Stück Pappe gewählt und dieses zudem so an der Stabspitze angebaracht, dass sich die Stablänge $l$ nicht verändert. Durchgeführt habe ich das Reibungsexperiment mit dem kurzen Holzstab, da beim großen, schweren Besenstiel der Einfluss der Pappe kaum bemerkbar gewesen wäre (entsprechende Begründung im Versuchsbericht). Bilder des modifizierten Holzstabes:\\ 
 +{{pappe_1.jpg?500}}\\ 
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 +{{pappe_2.jpg?500}}\\ 
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 +{{pappe_3.jpg?500}}\\ 
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 +Die Messungen der Fallzeit habe ich exakt so wie in den vorigen Experimenten "ohne Reibung" durchgeführt. Eine Messwerttabelle befindet sich im nächsten Kapitel dieses "Logbuchs".
  
 ========= Messwerttabellen ========= ========= Messwerttabellen =========
-Für die unterschiedlichen Anfangswinkel habe ich jeweils fünf mal gemessen.\\+Für die unterschiedlichen Anfangswinkel habe ich **jeweils fünfmal gemessen.**\\
 Die Anfangswinkel $\phi_0$ habe ich jeweils in Abständen von 10° verändert, um auch wirklich verschiedene Winkel gut einstellen zu können.\\ Die Anfangswinkel $\phi_0$ habe ich jeweils in Abständen von 10° verändert, um auch wirklich verschiedene Winkel gut einstellen zu können.\\
 Bis hoch zu 70° als Anfangswinkel, ab dann waren höhere Winkel nicht mehr gut einstellbar und es hätte eine sehr große Streuung der Messwerte gegeben.\\ Bis hoch zu 70° als Anfangswinkel, ab dann waren höhere Winkel nicht mehr gut einstellbar und es hätte eine sehr große Streuung der Messwerte gegeben.\\
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-<fs large>__1.) Messreihe mit dem längeren Stiel (l = 1,505 m)__</fs>+<fs large>__1.) Messreihe mit dem längeren Stiel ($l$ = 1,505 m)__</fs>
  
-^ Messung  ^ $\phi_0$ = 0°= 0 rad  ^ $\phi_0$ = 10°$\approx$ 0,175 rad  ^ $\phi_0$ = 20°$\approx$ 0,349 rad  ^  $\phi_0$ = 30°$\approx$ 0,524 rad ^ $\phi_0$ = 40°$\approx$ 0,698 rad  ^ $\phi_0$ = 50°$\approx$ 0,873 rad  ^ $\phi_0$ = 60°$\approx$ 1,047 rad  ^ $\phi_0$ = 70°$\approx$ 1,222 rad  ^ +^ $\phi_0$   ^ 0°$\mathrel{\hat=}$ 0 rad  ^ 10°$\mathrel{\hat=}$ 0,175 rad  ^ 20°$\mathrel{\hat=}$ 0,349 rad  ^  30°$\mathrel{\hat=}$ 0,524 rad ^ 40°$\mathrel{\hat=}$ 0,698 rad  ^ 50°$\mathrel{\hat=}$ 0,873 rad  ^ 60°$\mathrel{\hat=}$ 1,047 rad  ^ 70°$\mathrel{\hat=}$ 1,222 rad  ^ 
-| **1**    | 1,415                 | 0,989                              | 0,693                              | 0,619                              | 0,533                              | 0,430                              | 0,352                              | 0,312                              | +| **T [s]**  | 1,415                      | 0,989                           | 0,693                           | 0,619                           | 0,533                           | 0,430                           | 0,352                           | 0,312                           | 
-| **2**    | 1,373                 | 1,045                              | 0,789                              | 0,636                              | 0,497                              | 0,420                              | 0,341                              | 0,255                              | +| **T [s]**  | 1,373                      | 1,045                           | 0,789                           | 0,636                           | 0,497                           | 0,420                           | 0,341                           | 0,255                           | 
-| **3**    | 1,327                 | 1,040                              | 0,745                              | 0,633                              | 0,516                              | 0,416                              | 0,334                              | 0,308                              | +| **T [s]**  | 1,327                      | 1,040                           | 0,745                           | 0,633                           | 0,516                           | 0,416                           | 0,334                           | 0,308                           | 
-| **4**    | 1,427                 | 1,021                              | 0,718                              | 0,621                              | 0,525                              | 0,436                              | 0,349                              | 0,292                              | +| **T [s]**  | 1,427                      | 1,021                           | 0,718                           | 0,621                           | 0,525                           | 0,436                           | 0,349                           | 0,292                           | 
-| **5**    | 1,427                 | 1,006                              | 0,759                              | 0,610                              | 0,537                              | 0,401                              | 0,331                              | 0,291                              |+| **T [s]**  | 1,427                      | 1,006                           | 0,759                           | 0,610                           | 0,537                           | 0,401                           | 0,331                           | 0,291                           |
  
  
 \\ \\
-<fs large>__2.) Messreihe mit dem kürzeren Stiel (l = 1,223 m)__</fs>+<fs large>__2.) Messreihe mit dem kürzeren Stiel ($l$ = 1,223 m)__</fs>
  
-^ Messung  ^ $\phi_0$ = 0°= 0 rad  ^ $\phi_0$ = 10°$\approx$ 0,175 rad  ^ $\phi_0$ = 20°$\approx$ 0,349 rad  ^  $\phi_0$ = 30°$\approx$ 0,524 rad ^ $\phi_0$ = 40°$\approx$ 0,698 rad  ^ $\phi_0$ = 50°$\approx$ 0,873 rad  ^ $\phi_0$ = 60°$\approx$ 1,047 rad  ^ $\phi_0$ = 70°$\approx$ 1,222 rad  ^ +^ $\phi_0$   ^ 0°= 0 rad  ^ 10°$\mathrel{\hat=}$ 0,175 rad  ^ 20°$\mathrel{\hat=}$ 0,349 rad  ^  30°$\mathrel{\hat=}$ 0,524 rad ^ 40°$\mathrel{\hat=}$ 0,698 rad  ^ 50°$\mathrel{\hat=}$ 0,873 rad  ^ 60°$\mathrel{\hat=}$ 1,047 rad  ^ 70°$\mathrel{\hat=}$ 1,222 rad  ^ 
-| **1**    | 1,198                 | 0,938                              | 0,706                              | 0,523                              | 0,487                              | 0,402                              | 0,313                              | 0,221                              | +| **T [s]**  | 1,198      | 0,938                           | 0,706                           | 0,523                           | 0,487                           | 0,402                           | 0,313                           | 0,221                           | 
-| **2**    | 1,314                 | 0,898                              | 0,711                              | 0,566                              | 0,513                              | 0,406                              | 0,290                              | 0,217                              | +| **T [s]**  | 1,314      | 0,898                           | 0,711                           | 0,566                           | 0,513                           | 0,406                           | 0,290                           | 0,217                           | 
-| **3**    | 1,198                 | 0,894                              | 0,735                              | 0,552                              | 0,476                              | 0,377                              | 0,302                              | 0,228                              | +| **T [s]**  | 1,198      | 0,894                           | 0,735                           | 0,552                           | 0,476                           | 0,377                           | 0,302                           | 0,228                           | 
-| **4**    | 1,222                 | 1,001                              | 0,685                              | 0,559                              | 0,498                              | 0,412                              | 0,338                              | 0,244                              | +| **T [s]**  | 1,222      | 1,001                           | 0,685                           | 0,559                           | 0,498                           | 0,412                           | 0,338                           | 0,244                           | 
-| **5**    | 1,210                 | 0,989                              | 0,698                              | 0,539                              | 0,491                              | 0,413                              | 0,323                              | 0,230                              |+| **T [s]**  | 1,210      | 0,989                           | 0,698                           | 0,539                           | 0,491                           | 0,413                           | 0,323                           | 0,230                           |
  
 +
 +\\
 +<fs large>__3.) Messreihe mit dem kürzeren Stiel ($l$ = 1,223 m) und **Luftreibung** wegen Pappe __</fs>
 +
 +^ $\phi_0$   ^ 0°= 0 rad  ^ 10°$\mathrel{\hat=}$ 0,175 rad  ^ 20°$\mathrel{\hat=}$ 0,349 rad  ^  30°$\mathrel{\hat=}$ 0,524 rad ^ 40°$\mathrel{\hat=}$ 0,698 rad  ^ 50°$\mathrel{\hat=}$ 0,873 rad  ^ 60°$\mathrel{\hat=}$ 1,047 rad  ^ 70°$\mathrel{\hat=}$ 1,222 rad  ^
 +| **T [s]**  | 1,397      | 1,048                           | 0,842                           | 0,701                           | 0,542                           | 0,462                           | 0,372                           | 0,303                           |
 +| **T [s]**  | 1,341      | 1,041                           | 0,821                           | 0,662                           | 0,577                           | 0,477                           | 0,394                           | 0,297                           |
 +| **T [s]**  | 1,362      | 1,103                           | 0,835                           | 0,691                           | 0,603                           | 0,497                           | 0,369                           | 0,309                           |
 +| **T [s]**  | 1,413      | 1,081                           | 0,812                           | 0,688                           | 0,554                           | 0,458                           | 0,391                           | 0,282                           |
 +| **T [s]**  | 1,388      | 1,075                           | 0,819                           | 0,664                           | 0,579                           | 0,471                           | 0,376                           | 0,278                           |
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