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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe352:start [ 1 January 2021 14:24] – [Computerprogramm] mariusburgath | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe352:start [ 7 January 2021 18:32] (current) – [Besenstiel -- Gruppe 352] mariusburgath | ||
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================ Besenstiel -- Gruppe 352 ================ | ================ Besenstiel -- Gruppe 352 ================ | ||
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- | **Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath** \\ | + | **Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath, Matr.Nr.: 10028062** \\ |
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 22:17 \\ | Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 22:17 \\ | ||
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<fs large>__ 1.) Numerische Lösung mit dem Zeitschrittverfahren ohne NDSolve__</ | <fs large>__ 1.) Numerische Lösung mit dem Zeitschrittverfahren ohne NDSolve__</ | ||
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Die DGL $\ddot{\phi} = \frac{3 g \cdot sin(\phi)}{2 l} $ soll mit dem Zeitschrittverfahren gelöst werden. Beim Zeitschrittverfahren wird in einer ersten Näherung zu einem kleinen Zeitschritt $\Delta t =: h$ nach der Anfangszeit $t = 0$ genähert, also $\dot{\phi}(\Delta t) = \dot{\phi}(0) + \Delta t \cdot \ddot{\phi}(0)$ sowie $\phi(\Delta t) = \phi_0 + \Delta t \cdot \dot{\phi}(\Delta t)$. Dabei lässt sich $\ddot{\phi}(0)$ aus der DGL $\ddot{\phi}(0) = \frac{3 g \cdot sin(\phi_0)}{2 l} $ ermitteln. Man berechnet also aus dem bekannten $\ddot{\phi}$ zu einem bestimmten Zeitpunkt den Winkel $\phi$ sowie dessen Geschwindigkeit zu einem späteren Zeitpunkt. Dies lässt sich dann weiter fortsetzen, da man bei der ersten Näherung " | Die DGL $\ddot{\phi} = \frac{3 g \cdot sin(\phi)}{2 l} $ soll mit dem Zeitschrittverfahren gelöst werden. Beim Zeitschrittverfahren wird in einer ersten Näherung zu einem kleinen Zeitschritt $\Delta t =: h$ nach der Anfangszeit $t = 0$ genähert, also $\dot{\phi}(\Delta t) = \dot{\phi}(0) + \Delta t \cdot \ddot{\phi}(0)$ sowie $\phi(\Delta t) = \phi_0 + \Delta t \cdot \dot{\phi}(\Delta t)$. Dabei lässt sich $\ddot{\phi}(0)$ aus der DGL $\ddot{\phi}(0) = \frac{3 g \cdot sin(\phi_0)}{2 l} $ ermitteln. Man berechnet also aus dem bekannten $\ddot{\phi}$ zu einem bestimmten Zeitpunkt den Winkel $\phi$ sowie dessen Geschwindigkeit zu einem späteren Zeitpunkt. Dies lässt sich dann weiter fortsetzen, da man bei der ersten Näherung " | ||
Für Mathematica definiere ich zuerst mit der Funktion " | Für Mathematica definiere ich zuerst mit der Funktion " | ||
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Euler[n_, | Euler[n_, | ||
- | So kann bspw. eine hundertmalige Wiederholung des Verfahrens bei einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms sowie einer Stablänge von l = 1,45 m und einem Anfangswinkel von $x_0:= \phi_0$ = 0,25 rad ausgeführt werden, indem einfach die entsprechenden Argumente für die Funktion " | + | So kann bspw. eine hundertmalige Wiederholung des Verfahrens bei einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms sowie einer Stablänge von $l$ = 1,45 m und einem Anfangswinkel von $x_0:= \phi_0$ = 0,25 rad ausgeführt werden, indem einfach die entsprechenden Argumente für die Funktion " |
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Euler[100, | Euler[100, | ||
- | Als Output liefert Mathematica für diese konkreten Argumente das Tripel {1, 2.49478, 6.03056}. Der zweite Eintrag aus dieser Liste gibt den Winkel $\phi$ an. Im Folgenden definiere ich also eine Funktion, die genau diesen zweiten Eintrag des Tripels " | + | Als **Output** liefert Mathematica für diese konkreten Argumente das Tripel {1, 2.49478, 6.03056}. Der zweite Eintrag aus dieser Liste gibt den Winkel $\phi$ an. Im Folgenden definiere ich also eine Funktion, die genau diesen zweiten Eintrag des Tripels " |
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phineu[n_, | phineu[n_, | ||
- | Das Programm lässt sich mit Abb. 3 vom Aufgabenblatt prüfen. In dieser ist zu erkennen, dass bei l = 1,45 und $\phi$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta$ t = 1/100 s = 10 ms die Fallzeit in etwa 0,82 s beträgt. Fallzeit bedeutet, dass nach dieser Zeit der Winkel von $\phi$ = $\pi$/2 rad erreicht wird und der Stab somit auf dem Boden liegt. **Nur bis zu diesem Endwinkel ist also das Verfahren relevant**, da der Stab auf den Boden trifft und es somit im physikalischen Zusammenhang gesehen bei den durchgeführten Experimenten keine größeren Winkel als $\pi$/2 rad gibt. Die Fallzeit von T = 0,82 s beträgt dann etwa $82 \cdot \Delta$t = 82/100 s , das entspricht also einer 82-maligen Durchführung des obigen Verfahrens (n = 82). Mit dem obigen Verfahren lässt sich entsprechend ermitteln: | + | Das Programm lässt sich mit Abb. 3 vom Aufgabenblatt prüfen. In dieser ist zu erkennen, dass bei $l$ = 1,45 m und $\phi$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms die Fallzeit in etwa 0,82 s beträgt. Fallzeit bedeutet, dass nach dieser Zeit der Winkel von $\phi$ = $\pi$/2 rad erreicht wird und der Stab somit auf dem Boden liegt. **Nur bis zu diesem Endwinkel ist also das Verfahren relevant**, da der Stab auf den Boden trifft und es somit im physikalischen Zusammenhang gesehen bei den durchgeführten Experimenten keine größeren Winkel als $\pi$/2 rad gibt. Die Fallzeit von $T$ = 0,82 s beträgt dann etwa $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s , das entspricht also einer 82-maligen Durchführung des obigen Verfahrens ($n$ = 82). Mit dem obigen Verfahren lässt sich entsprechend ermitteln: |
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phineu[82, | phineu[82, | ||
- | Als Output liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Dies ist in recht guter Näherung $\pi/2$, der Stab ist nach der Fallzeit von etwa T = $82 \cdot \Delta$t = 82/100 s also auf dem Boden angelangt. Das Programm scheint somit zu funktionieren.\\ | + | Als **Output** liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Dies ist in recht guter Näherung $\pi/2$, der Stab ist nach der Fallzeit von etwa $T$ = $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s also auf dem Boden angelangt. Das Programm scheint somit zu funktionieren.\\ |
- | In den weiteren Aufgaben und Experimenten ist man daran interessiert, | + | In den weiteren Aufgaben und Experimenten ist man daran interessiert, |
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liste1[n_, | liste1[n_, | ||
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schritte[n_, | schritte[n_, | ||
- | So beispielsweise für die obigen Parameter von l = 1,45 und $\phi_0$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms:\\ | + | So beispielsweise für die obigen Parameter von $l$ = 1,45 und $\phi_0$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms:\\ |
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schritte[100, | schritte[100, | ||
- | Als Output liefert Mathematica den Wert 82. Dies entspricht dann einer Fallzeit von T = $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s = 0,82 s, was sich auch mit der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung bestätigen lässt. Das Programm scheint zu funktionieren und es können nun insbesondere die Anfangswinkel $\phi_0$ sowie die Stablänge l, aber auch die Schrittweite $\Delta$ t =:h des Zeitschrittverfahrens variiert werden.\\ | + | Als **Output** liefert Mathematica den Wert 82. Dies entspricht dann einer Fallzeit von $T$ = $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s = 0,82 s, was sich auch mit der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung bestätigen lässt. Das Programm scheint zu funktionieren und es können nun insbesondere die Anfangswinkel $\phi_0$ sowie die Stablänge |
Über einen Listplot lässt sich sogar eine Abbildung ähnlich der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen:\\ | Über einen Listplot lässt sich sogar eine Abbildung ähnlich der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen:\\ | ||
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ListPlot[Table[{x0, | ListPlot[Table[{x0, | ||
PlotLabel-> | PlotLabel-> | ||
- | Mathematica liefert als Output die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\ | + | Mathematica liefert als **Output** die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\ |
{{ohne_ndsolve.jpg? | {{ohne_ndsolve.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | Vor diesem eben vorgestellten Verfahren hatte ich zuerst einen anderen Code erstellt, den ich dann aber verworfen habe. Dieser wird hier auch noch kurz vorgestellt: | ||
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<fs large> __2.) Numerische Lösung mit NDSolve__</ | <fs large> __2.) Numerische Lösung mit NDSolve__</ | ||
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- | |||
Aus dem ersten Semester MMdP ist bekannt, dass sich im NDSolve - Befehl von Mathematica (numerische Lösung von DGL's) bereits ein " | Aus dem ersten Semester MMdP ist bekannt, dass sich im NDSolve - Befehl von Mathematica (numerische Lösung von DGL's) bereits ein " | ||
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Line 64: | Line 63: | ||
phi[t], {t, 0, 100}, | phi[t], {t, 0, 100}, | ||
Method -> " | Method -> " | ||
- | Um mit der Lösung weiterarbeiten zu können, wird die Funktion " | + | Um mit der Lösung weiterarbeiten zu können, wird die Funktion " |
< | < | ||
phi[a_, b_, | phi[a_, b_, | ||
- | So bspw. für $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms und l = 1,45 m zu einer Zeit von t = 0,82 s:\\ | + | So bspw. für $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms und $l$ = 1,45 m zu einer Zeit von $t$ = 0,82 s:\\ |
< | < | ||
phi[0.25, | phi[0.25, | ||
- | Als Output liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Man sieht also, dass in guter Näherung der Winkel $\phi = \pi$/2 rad erreicht ist, was bedeutet, dass der Stab auf den Boden trifft. Damit ist in etwa t = 0,82 s =: T die Fallzeit des Stabes. Dies lässt sich mit Abbildung 3 der Versuchsanleitung verifizieren, | + | Als **Output** liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Man sieht also, dass in guter Näherung der Winkel $\phi = \pi$/2 rad erreicht ist, was bedeutet, dass der Stab auf den Boden trifft. Damit ist in etwa $t$ = 0,82 s =: $T$ die Fallzeit des Stabes. Dies lässt sich mit Abbildung 3 der Versuchsanleitung verifizieren, |
- | Obige Funktion " | + | Obige Funktion " |
< | < | ||
fallzeit[a_, | fallzeit[a_, | ||
- | Für die bereits genutzten Parameter von $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms als Schrittweite sowie l = 1,45 m ergibt sich:\\ | + | Für die bereits genutzten Parameter von $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms als Schrittweite sowie $l$ = 1,45 m ergibt sich:\\ |
< | < | ||
fallzeit[0.25, | fallzeit[0.25, | ||
- | Mathematica liefert als Output T = 0.823999 ,was in sehr guter Nähe zu der bereits bekannten und erwartbare Fallzeit von T $\approx$ 0,82 s liegt, die sich auch an Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung ablesen lässt.\\ | + | Mathematica liefert als **Output** $T$ = 0.823999 ,was in sehr guter Nähe zu der bereits bekannten und erwartbare Fallzeit von $T \approx$ 0,82 s liegt, die sich auch an Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung ablesen lässt.\\ |
- | Wenn $\Delta$t = 10 ms und l = 1,45 m festgehalten werden, so lässt sich über einen Listplot | + | Wenn $\Delta t$ = 10 ms und $l$ = 1,45 m festgehalten werden, so lässt sich über einen ListPlot |
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ListPlot[Table[{phi0, | ListPlot[Table[{phi0, | ||
PlotLabel->" | PlotLabel->" | ||
AxesLabel-> | AxesLabel-> | ||
- | Mathematica liefert als Output die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\ | + | Mathematica liefert als **Output** die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\ |
{{mit_ndsolve.jpg? | {{mit_ndsolve.jpg? | ||
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- | Mit Mathematica ergeben sich also zwei verschiedene Möglichkeiten für die numerische Lösung mit Zeitschrittverfahren, | + | >>> |
========= Versuchsdurchführung/ | ========= Versuchsdurchführung/ | ||
Die Messung der Kippbewegung des Stabes habe ich mit zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt: | Die Messung der Kippbewegung des Stabes habe ich mit zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt: | ||
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- | **1.)** Mit einem " | + | **1.)** Mit einem " |
{{langer_stab-min.jpg? | {{langer_stab-min.jpg? | ||
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- | **2.)** Mit einem anderen, kürzeren Holzstab der Länge l = 1,223 m. Dieser ist dünner als ein herkömmlicher Besenstiel und wurd vmtl. als Rankhilfe für Gewächse genutzt.\\ | + | **2.)** Mit einem anderen, kürzeren Holzstab der Länge |
{{kurzer_stab-min.jpg? | {{kurzer_stab-min.jpg? | ||
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Line 113: | Line 112: | ||
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Dieses hatte eine Dicke von nur etwa 1-2 cm und sollte die Messungen nicht nennenswert beeinflussen.\\ | Dieses hatte eine Dicke von nur etwa 1-2 cm und sollte die Messungen nicht nennenswert beeinflussen.\\ | ||
- | Die möglichst reine Fallbewegung war also realisiert. Nun ging es darum, die Falldauer T sowie den Anfangswinkel $\phi_0$ des Stabes zu messen. Für den Anfangswinkel habe ich mir eine große Winkelscheibe ausgedruckt, | + | Die möglichst reine Fallbewegung war also realisiert. Nun ging es darum, die Falldauer |
{{Winkelscheibe.jpg? | {{Winkelscheibe.jpg? | ||
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{{Stab Winkelscheibe.jpg? | {{Stab Winkelscheibe.jpg? | ||
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- | Aufgrund der Orientierungsstriche habe ich für die Messungen stets gut ablesbare Anfangswinkel (10°, 20°, 30°,...) genutzt. An dieser Stelle sei gesagt, dass die Winkelmessung der ungenauste Teil meiner Messung ist, alleine schon wegen der endlichen Stabdicke. Darüber hinaus war es nicht einfach, den Stab fest in einer bestimmten Anfangsposition zu halten und dann auch noch die Zeit zu messen. Als Winkelunsicherheit habe ich deshalb | + | Aufgrund der Orientierungsstriche habe ich für die Messungen stets gut ablesbare Anfangswinkel (10°, 20°, 30°,...) genutzt. An dieser Stelle sei gesagt, dass die Winkelmessung der ungenauste Teil meiner Messung ist, alleine schon wegen der endlichen Stabdicke. Darüber hinaus war es nicht einfach, den Stab fest in einer bestimmten Anfangsposition zu halten und dann auch noch die Zeit zu messen. Aus diesem Grund habe ich auch nur bis hoch zu 70° als Anfangswinkel gemessen - bei größeren Winkeln lies sich der Besenstiel nicht mehr gut in einer Anfangsposition fixieren. Als Winkelunsicherheit habe ich etwa 3° veranschlagt - genaueres dazu in dem Versuchsbericht.\\ |
- | Nun galt es noch die Fallzeit des Stabes zu messen. Um die recht kurzen Zeitmessungen mit meiner Schrecksekunde nicht zu stark zu beeinflussen, | + | Nun galt es noch die Fallzeit des Stabes zu messen. Um die recht kurzen Zeitmessungen mit meiner Schrecksekunde nicht zu stark zu beeinflussen, |
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**Analog habe ich die Messungen für den zweiten, kürzeren Holzstab durchgeführt.** Es gab lediglich zwei kleine Abänderungen im Versuchsaufbau: | **Analog habe ich die Messungen für den zweiten, kürzeren Holzstab durchgeführt.** Es gab lediglich zwei kleine Abänderungen im Versuchsaufbau: | ||
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{{Winkel kleiner Stab.jpg? | {{Winkel kleiner Stab.jpg? | ||
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- | Beim kleinen Stab lies sich der Winkel genauer ablesen als beim großen Stab vom ersten Versuch, da der kleine Holzstab dünner war. Alle anderen Messungen wurden für den kleinen Stab exakt so wie beim großen Besenstiel durchgeführt. Allgemein fielen mir die Messungen mit dem kleinen Stab deutlich leichter, da dieser sich aufgrund seines geringeren Gewichts wesentlich besser in einer bestimmten Anfangsposition festhalten | + | Beim kleinen Stab ließ sich der Winkel genauer ablesen als beim großen Stab vom ersten Versuch, da der kleine Holzstab dünner war. Alle anderen Messungen wurden für den kleinen Stab exakt so wie beim großen Besenstiel durchgeführt. Allgemein fielen mir die Messungen mit dem kleinen Stab deutlich leichter, da dieser sich aufgrund seines geringeren Gewichts wesentlich besser in einer bestimmten Anfangsposition festhalten |
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+ | In einer letzten Versuchsreihe sollte noch der Einfluss der Luftreibung untersucht werden. Da ich bei mir natürlich kein Vakuum oder Ähnliches erzeugen konnte, habe ich oben an dem kurzen Stab eine etwas gewelltes, sehr leichtes Stück Pappe angebracht. Dieses erzeugt eine hohe Querschnittsfläche an der Stabspitze, die dann entsprechend viel Angriffsfläche für die Luftreibung bietet. Damit die anderen Stabparameter sich nicht verändern, habe ich ein sehr leichtes Stück Pappe gewählt und dieses zudem so an der Stabspitze angebaracht, | ||
+ | {{pappe_1.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | {{pappe_2.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | {{pappe_3.jpg? | ||
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+ | Die Messungen der Fallzeit habe ich exakt so wie in den vorigen Experimenten "ohne Reibung" | ||
========= Messwerttabellen ========= | ========= Messwerttabellen ========= | ||
- | Für die unterschiedlichen Anfangswinkel habe ich jeweils | + | Für die unterschiedlichen Anfangswinkel habe ich **jeweils |
Die Anfangswinkel $\phi_0$ habe ich jeweils in Abständen von 10° verändert, um auch wirklich verschiedene Winkel gut einstellen zu können.\\ | Die Anfangswinkel $\phi_0$ habe ich jeweils in Abständen von 10° verändert, um auch wirklich verschiedene Winkel gut einstellen zu können.\\ | ||
Bis hoch zu 70° als Anfangswinkel, | Bis hoch zu 70° als Anfangswinkel, | ||
Line 137: | Line 150: | ||
- | <fs large> | + | <fs large> |
- | ^ Messung | + | ^ $\phi_0$ |
- | | **1** | 1,415 | + | | **T [s]** | 1,415 | 0,989 |
- | | **2** | 1,373 | + | | **T [s]** | 1,373 | 1,045 |
- | | **3** | 1,327 | + | | **T [s]** | 1,327 | 1,040 |
- | | **4** | 1,427 | + | | **T [s]** | 1,427 | 1,021 |
- | | **5** | 1,427 | + | | **T [s]** | 1,427 | 1,006 |
\\ | \\ | ||
- | <fs large> | + | <fs large> |
- | ^ Messung | + | ^ $\phi_0$ |
- | | **1** | 1,198 | + | | **T [s]** | 1,198 | 0,938 |
- | | **2** | 1,314 | + | | **T [s]** | 1,314 | 0,898 |
- | | **3** | 1,198 | + | | **T [s]** | 1,198 | 0,894 |
- | | **4** | 1,222 | + | | **T [s]** | 1,222 | 1,001 |
- | | **5** | 1,210 | + | | **T [s]** | 1,210 | 0,989 |
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | <fs large> | ||
+ | |||
+ | ^ $\phi_0$ | ||
+ | | **T [s]** | 1,397 | 1,048 | 0,842 | 0,701 | 0,542 | 0,462 | 0,372 | 0,303 | | ||
+ | | **T [s]** | 1,341 | 1,041 | 0,821 | 0,662 | 0,577 | 0,477 | 0,394 | 0,297 | | ||
+ | | **T [s]** | 1,362 | 1,103 | 0,835 | 0,691 | 0,603 | 0,497 | 0,369 | 0,309 | | ||
+ | | **T [s]** | 1,413 | 1,081 | 0,812 | 0,688 | 0,554 | 0,458 | 0,391 | 0,282 | | ||
+ | | **T [s]** | 1,388 | 1,075 | 0,819 | 0,664 | 0,579 | 0,471 | 0,376 | 0,278 | | ||
+ | |||
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