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--- a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe352:start [ 1 January 2021 14:12] – [Besenstiel -- Gruppe 352] mariusburgath
+++ a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe352:start [ 7 January 2021 18:32] (current) – [Besenstiel -- Gruppe 352] mariusburgath
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 ================ Besenstiel -- Gruppe 352 ================
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-**Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath** \\
+**Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath, Matr.Nr.: 10028062** \\
 Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 22:17 \\
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 <fs large>__ 1.) Numerische Lösung mit dem Zeitschrittverfahren ohne NDSolve__</fs> \\
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+Die DGL $\ddot{\phi} = \frac{3 g \cdot sin(\phi)}{2 l} $ soll mit dem Zeitschrittverfahren gelöst werden. Beim Zeitschrittverfahren wird in einer ersten Näherung zu einem kleinen Zeitschritt $\Delta t =: h$ nach der Anfangszeit $t = 0$ genähert, also $\dot{\phi}(\Delta t) = \dot{\phi}(0) + \Delta t \cdot \ddot{\phi}(0)$ sowie $\phi(\Delta t) = \phi_0 + \Delta t \cdot \dot{\phi}(\Delta t)$. Dabei lässt sich $\ddot{\phi}(0)$ aus der DGL $\ddot{\phi}(0) = \frac{3 g \cdot sin(\phi_0)}{2 l} $ ermitteln. Man berechnet also aus dem bekannten $\ddot{\phi}$ zu einem bestimmten Zeitpunkt den Winkel $\phi$ sowie dessen Geschwindigkeit zu einem späteren Zeitpunkt. Dies lässt sich dann weiter fortsetzen, da man bei der ersten Näherung "lokal" eine Lösung bzw. einen Näherungswert erhalten hat und diese dann wieder einsetzen kann. So lässt sich für die höhere Näherung allgemein $\dot{\phi}(t+\Delta t) = \dot{\phi}(t) + \Delta t \cdot \ddot{\phi}(t)$ und damit dann $\phi(t+\Delta t) = \phi (t) + \Delta t \cdot \dot{\phi}(t+\Delta t)$ ansetzen. Dies kann immer weiter durchgeführt werden, also für immer mehr Zeitschritte $\Delta t$, sodass man beispielsweise zuerst eine Näherung von $\phi (\Delta t)$ erhält, dann von $\phi (2\Delta t)$ usw.. Genauer ist das Verfahren, je kleiner die gewählten Zeitschritte $\Delta t =: h$ sind. Das hier genutzte Verfahren wird allgemein als "Euler-Verfahren" bezeichnet und ist eine Möglichkeit, numerische Ausdrücke für die Lösungen von Differentialgleichungen zu erhalten.\\
-Die DGL $\ddot{\phi} = \frac{3 g \cdot sin(\phi)}{2 l} $ soll mit dem Zeitschrittverfahren gelöst werden. Beim Zeitschrittverfahren wird in einer ersten Näherung zu einem kleinen Zeitschritt $\Delta$t =: h nach der Anfangszeit t = 0 genähert, also $\dot{\phi}(\Delta t) = \dot{\phi}(0) + \Delta t \cdot \ddot{\phi}(0)$ sowie $\phi(\Delta t) = \phi_0 + \Delta t \cdot \dot{\phi}(\Delta t)$. Dabei lässt sich $\ddot{\phi}(0)$ aus der DGL $\ddot{\phi}(0) = \frac{3 g \cdot sin(\phi_0)}{2 l} $ ermitteln.Dies lässt sich dann weiter fortsetzen, da man bei der ersten Näherung "lokal" eine Lösung bzw. einen Näherungswert erhalten hat und diese dann wieder einsetzen kann. So lässt sich für die höhere Näherung allgemein $\dot{\phi}(t+\Delta t) = \dot{\phi}(t) + \Delta t \cdot \ddot{\phi}(t)$ und damit dann $\phi(t+\Delta t) = \phi (t) + \Delta t \cdot \dot{\phi}(t+\Delta t)$ ansetzen. Dies kann immer weiter durchgeführt werden, also für immer mehr Zeitschritte $\Delta t$, sodass man zuerst eine Näherung von $\phi (\Delta t)$ erhält, dann von $\phi (2\Delta t)$ usw.. Genauer ist das Verfahren, je kleiner die gewählten Zeitschritte $\Delta$t =: h sind. Das hier genutzte Verfahren wird allgemein als "Euler-Verfahren" bezeichnet und ist eine Möglichkeit, numerische Ausdrücke für die Lösungen von Differentialgleichungen zu erhalten.\\
+Für Mathematica definiere ich zuerst mit der Funktion "euler" einen solchen allgemeinen Eulerschritt. Im Folgenden wird dafür $\phi$ als $x$ bezeichnet und $ \dot{\phi}$ als $v$, um später Verwechslungen zu vermeiden. Die von mir definierte Funktion "euler" liefert also aus dem "Anfangstripel" {${t_0, \phi_0, \dot{\phi_0}}$} ein neues, genähertes Tripel nach dem Zeitschritt $\Delta t =: h$ . Dies wird dann wieder eingesetzt und das Verfahren somit wiederholt, um genäherte Lösungen für größere Zeiten zu erhalten. Dafür, dass die neuen Näherungen immer wieder eingesetzt werden, sorgt der in Mathematica eingebaute praktische Befehl "Nest" (In meinem Code implementiere ich dies über die Funktion "Euler"). Mit der Variablen $n$ kann dann die Anzahl der auszuführenden Zeitschritte $\Delta t =: h$ , also auch die Anzahl der Wiederholungen des Verfahrens, angegeben werden.
-Für Mathematica definiere ich zuerst mit der Funktion "euler" einen solchen allgemeinen Eulerschritt. Im Folgenden wird dafür $\phi$ als x bezeichnet und $ \dot{\phi}$ als v, um später Verwechslungen zu vermeiden. Die von mir definierte Funktion "euler" liefert also aus dem "Anfangstripel" {${t_0, \phi_0, \dot{\phi_0}}$} ein neues, genähertes Tripel nach dem Zeitschritt $\Delta$t =: h . Dies wird dann wieder eingesetzt und das Verfahren somit wiederholt, um genäherte Lösungen für größere Zeiten zu erhalten. Dafür, dass die neuen Näherungen immer wieder eingesetzt werden, sorgt der in Mathematica eingebaute praktische Befehl "Nest". Mit der Variablen n kann dann die Anzahl der auszuführenden Zeitschritte $\Delta$t =: h , also auch die Anzahl der Wiederholungen des Verfahrens, angegeben werden.
+Meine Definitionen hängen zudem allgemein von den Zeitschritten $\Delta t =: h$  sowie der Länge $l$ des verwendeten Stiels ab, damit das Programm dann bequem für andere Parameter genutzt werden kann, indem für $l$ und $\Delta t$ dann einfach konkrete Werte eingesetzt werden. Der Mathematica - Programmcode für die Definitionen ist:\\
-Meine Definitionen hängen zudem allgemein von den Zeitschritten $\Delta$t =: h  sowie der Länge l des verwendeten Stiels ab, damit das Programm dann bequem für andere Parameter genutzt werden kann, indem für l und $\Delta$t dann einfach konkrete Werte eingesetzt werden. Der Mathematica - Programmcode für die Definitionen ist:\\
 <code>
 f[{t_,x_,v_}]:=v
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 Euler[n_,x0_,h_,l_]:=Nest[euler[#1,h,l]&,{0,x0,0},n] </code>\\
-So kann bspw. eine hundertmalige Wiederholung des Verfahrens bei einem Zeitschritt von $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms sowie einer Stablänge von l = 1,45 m und einem Anfangswinkel von $x_0:= \phi_0$ = 0,25 rad ausgeführt werden, indem einfach die entsprechenden Argumente für die Funktion "Euler" gewählt werden:\\
+So kann bspw. eine hundertmalige Wiederholung des Verfahrens bei einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms sowie einer Stablänge von $l$ = 1,45 m und einem Anfangswinkel von $x_0:= \phi_0$ = 0,25 rad ausgeführt werden, indem einfach die entsprechenden Argumente für die Funktion "Euler" gewählt werden:\\
 <code>
 Euler[100,0.25,1/100,1.45] </code>\\
-Als Output liefert Mathematica für diese konkreten Argumente das Tripel {1, 2.49478, 6.03056}. Der zweite Eintrag aus dieser Liste gibt den Winkel $\phi$ an. Im Folgenden definiere ich also eine Funktion, die genau diesen zweiten Eintrag des Tripels "extrahiert", um anschließend damit arbeiten zu können:\\
+Als **Output** liefert Mathematica für diese konkreten Argumente das Tripel {1, 2.49478, 6.03056}. Der zweite Eintrag aus dieser Liste gibt den Winkel $\phi$ an. Im Folgenden definiere ich also eine Funktion, die genau diesen zweiten Eintrag des Tripels "extrahiert", um anschließend damit arbeiten zu können:\\
 <code>
 phineu[n_,x0_,h_,l_]:=Part[Euler[n,x0,h,l],2] </code>\\
-Das Programm lässt sich mit Abb. 3 vom Aufgabenblatt prüfen. In dieser ist zu erkennen, dass bei l = 1,45 und $\phi$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta$ t = 1/100 s = 10 ms die Fallzeit in etwa 0,82 s beträgt. Fallzeit bedeutet, dass nach dieser Zeit der Winkel von $\phi$ = $\pi$/2 rad erreicht wird und der Stab somit auf dem Boden liegt. **Nur bis zu diesem Endwinkel ist also das Verfahren relevant**, da der Stab auf den Boden trifft und es somit im physikalischen Zusammenhang gesehen bei den durchgeführten Experimenten keine größeren Winkel als $\pi$/2 rad gibt. Die Fallzeit von T = 0,82 s beträgt dann etwa $82 \cdot \Delta$t = 82/100 s , das entspricht also einer 82-maligen Durchführung des obigen Verfahrens (n = 82). Mit dem obigen Verfahren lässt sich entsprechend ermitteln:\\
+Das Programm lässt sich mit Abb. 3 vom Aufgabenblatt prüfen. In dieser ist zu erkennen, dass bei $l$ = 1,45 m und $\phi$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms die Fallzeit in etwa 0,82 s beträgt. Fallzeit bedeutet, dass nach dieser Zeit der Winkel von $\phi$ = $\pi$/2 rad erreicht wird und der Stab somit auf dem Boden liegt. **Nur bis zu diesem Endwinkel ist also das Verfahren relevant**, da der Stab auf den Boden trifft und es somit im physikalischen Zusammenhang gesehen bei den durchgeführten Experimenten keine größeren Winkel als $\pi$/2 rad gibt. Die Fallzeit von $T$ = 0,82 s beträgt dann etwa $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s , das entspricht also einer 82-maligen Durchführung des obigen Verfahrens ($n$ = 82). Mit dem obigen Verfahren lässt sich entsprechend ermitteln:\\
 <code>
 phineu[82,0.25,1/100,1.45] </code>\\
-Als Output liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Dies ist in recht guter Näherung $\pi/2$, der Stab ist nach der Fallzeit von etwa T = $82 \cdot \Delta$t = 82/100 s also auf dem Boden angelangt. Das Programm scheint somit zu funktionieren.\\
+Als **Output** liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Dies ist in recht guter Näherung $\pi/2$, der Stab ist nach der Fallzeit von etwa $T$ = $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s also auf dem Boden angelangt. Das Programm scheint somit zu funktionieren.\\
-In den weiteren Aufgaben und Experimenten ist man daran interessiert, wie lange die Fallzeit T ist. Für das hier verwendete Verfahren bedeutet das also, wie viele Schritte benötigt werden, bis ein Winkel von etwa $\pi/2$ erreicht ist, sodass der Stab auf den Boden trifft. Eine Liste liefert zunächst die $\phi$ Werte für verschiedene Anzahlen an durchgeführten Zeitschritten:\\
+In den weiteren Aufgaben und Experimenten ist man daran interessiert, wie lange die Fallzeit $T$ ist. Für das hier verwendete Verfahren bedeutet das also, wie viele Schritte benötigt werden, bis ein Winkel von etwa $\pi/2$ erreicht ist, sodass der Stab auf den Boden trifft. Eine Liste liefert zunächst die $\phi$ Werte für verschiedene Anzahlen an durchgeführten Zeitschritten:\\
 <code>
 liste1[n_,x0_,h_,l_]:= Table[phineu[m,x0,h,l],{m,1,n,1}] </code>\\
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 <code>
 schritte[n_,x0_,h_,l_]:=First[First[Position[liste1[n,x0,h,l],winkel[n,x0,h,l]]]] </code>\\
-So beispielsweise für die obigen Parameter von l = 1,45 und $\phi_0$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms:\\
+So beispielsweise für die obigen Parameter von $l$ = 1,45 und $\phi_0$ = 0,25 rad sowie einem Zeitschritt von $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms:\\
 <code>
 schritte[100,0.25,1/100,1.45]  </code>\\
-Als Output liefert Mathematica den Wert 82. Dies entspricht dann einer Fallzeit von T = $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s = 0,82 s, was sich auch mit der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung bestätigen lässt. Das Programm scheint zu funktionieren und es können nun insbesondere die Anfangswinkel $\phi_0$ sowie die Stablänge l, aber auch die Schrittweite $\Delta$ t =:h des Zeitschrittverfahrens variiert werden.\\
+Als **Output** liefert Mathematica den Wert 82. Dies entspricht dann einer Fallzeit von $T$ = $82 \cdot \Delta t$ = 82/100 s = 0,82 s, was sich auch mit der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung bestätigen lässt. Das Programm scheint zu funktionieren und es können nun insbesondere die Anfangswinkel $\phi_0$ sowie die Stablänge $l$, aber auch die Schrittweite $\Delta t =:h$ des Zeitschrittverfahrens variiert werden.\\
 Über einen Listplot lässt sich sogar eine Abbildung ähnlich der Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen:\\
 <code>
 ListPlot[Table[{x0, (1/100)*schritte[100,x0,1/100,1.45]}, {x0,0.2,1.25,0.025}],
 		 PlotLabel-> "Fallzeit für verschiedene Startwinkel", AxesLabel->{"Startwinkel/rad","Fallzeit/s"}] </code>\\
-Mathematica liefert als Output die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\
+Mathematica liefert als **Output** die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\
 {{ohne_ndsolve.jpg?500}}\\
+\\
+Vor diesem eben vorgestellten Verfahren hatte ich zuerst einen anderen Code erstellt, den ich dann aber verworfen habe. Dieser wird hier auch noch kurz vorgestellt:\\
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 <fs large> __2.) Numerische Lösung mit NDSolve__</fs> \\
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 Aus dem ersten Semester MMdP ist bekannt, dass sich im NDSolve - Befehl von Mathematica (numerische Lösung von DGL's) bereits ein "eingebautes" Zeitschrittverfahren befindet. Dies lässt sich nutzen, indem die Methode "ExplicitEuler" angegeben wird. Über "StartingStepSize" kann dann die Größe der Zeitschritte festgelegt werden:\\
 <code>
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 				    phi[t], {t, 0, 100},
                     Method -> "ExplicitEuler", "StartingStepSize" -> b] </code>\\
-Um mit der Lösung weiterarbeiten zu können, wird die Funktion "phi" definiert, die bei einem Anfangswinkel von $\phi_0$ =:a, einer Schrittweite der Zeitschritte von $\Delta$t =: b sowie einer Stablänge von l =: c zu einer Zeit t =: $\tau$ die numerisch genäherte Lösung ausgibt:\\
+Um mit der Lösung weiterarbeiten zu können, wird die Funktion "phi" definiert, die bei einem Anfangswinkel von $\phi_0 =:a$, einer Schrittweite der Zeitschritte von $\Delta t =: b$ sowie einer Stablänge von $l =: c$ zu einer Zeit $t =: \tau$ die numerisch genäherte Lösung ausgibt:\\
 <code>
 phi[a_, b_,c_,tau_]:= First[(phi[t]/.lösung[a,b,c])/.t-> tau] </code>\\
-So bspw. für $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms und l = 1,45 m zu einer Zeit von t = 0,82 s:\\
+So bspw. für $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms und $l$ = 1,45 m zu einer Zeit von $t$ = 0,82 s:\\
 <code>
 phi[0.25,1/100,1.45,0.82]  </code>\\
-Als Output liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Man sieht also, dass in guter Näherung der Winkel $\phi = \pi$/2 rad erreicht ist, was bedeutet, dass der Stab auf den Boden trifft. Damit ist in etwa t = 0,82 s =: T die Fallzeit des Stabes. Dies lässt sich mit Abbildung 3 der Versuchsanleitung verifizieren, denn auch dort lässt sich für die entsprechenden Parameter von $\phi_0$, l und $\Delta$t eine Fallzeit von etwa T = 0,82 s ablesen. Das Programm scheint zu funktionieren. Es ergibt sich bei den gleichen Parameterwerten sogar der gleiche Wert für den Winkel, wie er eben bei der "händischen Implementierung ohne NDSolve" ermittelt wurde. **Mathematica scheint also bei der Methode "EulerStep" tatsächlich einen sehr ähnlichen Algorithmus zu dem von mir "händisch" implementierten Zeitschrittverfahren zu benutzen!**\\
+Als **Output** liefert Mathematica den Wert $\phi$ = 1,55324. Man sieht also, dass in guter Näherung der Winkel $\phi = \pi$/2 rad erreicht ist, was bedeutet, dass der Stab auf den Boden trifft. Damit ist in etwa $t$ = 0,82 s =: $T$ die Fallzeit des Stabes. Dies lässt sich mit Abbildung 3 der Versuchsanleitung verifizieren, denn auch dort lässt sich für die entsprechenden Parameter von $\phi_0$, $l$ und $\Delta t$ eine Fallzeit von etwa $T$ = 0,82 s ablesen. Das Programm scheint zu funktionieren. Es ergibt sich bei den gleichen Parameterwerten sogar der gleiche Wert für den Winkel, wie er eben bei der "händischen Implementierung ohne NDSolve" ermittelt wurde. **Mathematica scheint also bei der Methode "EulerStep" tatsächlich einen sehr ähnlichen Algorithmus zu dem von mir "händisch" implementierten Zeitschrittverfahren zu benutzen!**\\
-Obige Funktion "phi" lässt sich nun bei festen $\phi_0$, l und $\Delta$t nach der Fallzeit auflösen, da nach dieser Zeit stets $\phi = \pi$/2 gilt:\\
+Obige Funktion "phi" lässt sich nun bei festen $\phi_0$, $l$ und $\Delta t$ nach der Fallzeit auflösen, da nach dieser Zeit stets $\phi = \pi$/2 gilt:\\
 <code>
 fallzeit[a_,b_,c_]:=t/.FindRoot[phi[a,b,c,t] == Pi/2,{t,0.1}] </code>\\
-Für die bereits genutzten Parameter von $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta$t = 1/100 s = 10 ms als Schrittweite sowie l = 1,45 m ergibt sich:\\
+Für die bereits genutzten Parameter von $\phi_0$ = 0,25 rad und $\Delta t$ = 1/100 s = 10 ms als Schrittweite sowie $l$ = 1,45 m ergibt sich:\\
 <code>
 fallzeit[0.25,1/100,1.45] </code>\\
-Mathematica liefert als Output T = 0.823999 ,was in sehr guter Nähe zu der bereits bekannten und erwartbare Fallzeit von T $\approx$ 0,82 s liegt, die sich auch an Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung ablesen lässt.\\
+Mathematica liefert als **Output** $T$ = 0.823999 ,was in sehr guter Nähe zu der bereits bekannten und erwartbare Fallzeit von $T \approx$ 0,82 s liegt, die sich auch an Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung ablesen lässt.\\
-Wenn $\Delta$t = 10 ms und l = 1,45 m festgehalten werden, so lässt sich über einen Listplot eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen, indem verschiedenen Anfangswinkeln $\phi_0$ die Fallzeiten zugeordnet werden. Das Programm scheint also zu funktionieren:\\
+Wenn $\Delta t$ = 10 ms und $l$ = 1,45 m festgehalten werden, so lässt sich über einen ListPlot eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 aus der Versuchsanleitung erzeugen, indem verschiedenen Anfangswinkeln $\phi_0$ die Fallzeiten zugeordnet werden. Das Programm scheint also zu funktionieren:\\
 <code>
 ListPlot[Table[{phi0,fallzeit[phi0,1/100,1.45]},{phi0,0.2,1.25,0.025}],
 		PlotLabel->"Fallzeit für unterschiedliche Anfangswinkel",
 		AxesLabel->{"Startwinkel/rad", "Fallzeit/s"}] </code>\\
-Mathematica liefert als Output die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\
+Mathematica liefert als **Output** die folgende Graphik, die so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung aussieht:\\
 {{mit_ndsolve.jpg?500}}\\
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-Mit Mathematica ergeben sich also zwei verschiedene Möglichkeiten für die numerische Lösung mit Zeitschrittverfahren, die beide auf entsprechende Fallzeiten sowie eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung führen. Schlussendlich für die weitere Auswertung habe ich mich für die **erste Möglichkeit** entschieden, also das "händische Implementieren" ohne NDSolve. Der erste Grund dafür ist, dass ich zum einen nicht genau herausfinden konnte, ob die in Mathematica eingebautete Methode "ExplicitEuler" tatsächlich das in der Aufgabe vorgegebene Zeitschrittverfahren nutzt, oder doch eine leicht abgeänderte Variante. Der zweite Grund ist, dass mir das Arbeiten mit den Listen bzw. Punktepaaren bei der ersten Methode etwas einfacher gefallen ist.
+>>>Mit Mathematica ergeben sich also zwei verschiedene Möglichkeiten für die numerische Lösung mit Zeitschrittverfahren, die beide auf entsprechende Fallzeiten sowie eine Graphik genau so wie in Abbildung 3 der Versuchsanleitung führen. Schlussendlich für die weitere Auswertung habe ich mich für die **erste Möglichkeit** entschieden, also das "händische Implementieren" ohne NDSolve. Der erste Grund dafür ist, dass ich zum einen nicht genau herausfinden konnte, ob die in Mathematica eingebautete Methode "ExplicitEuler" tatsächlich das in der Aufgabe vorgegebene Zeitschrittverfahren nutzt, oder doch eine leicht abgeänderte Variante. Der zweite Grund ist, dass mir das Arbeiten mit den Listen bzw. Punktepaaren bei der ersten Methode etwas einfacher gefallen ist. Außerdem habe ich in dem ersten Verfahren ohne NDSolve die Wiederholungen bzw. Iterationen des Zeitschrittverfahrens wirklich "selbst" programmiert, eben ohne den eingebauten Befehl zum Lösen von Gleichungen. **In meinem Versuchsbericht wird die zweite Methode hier also nicht berücksichtigt**, sondern ich nutze nur das Verfahren ohne den NDSolve-Befehl zur Auswertung. Im Zuge dessen wird dann u.a. auch der Einfluss unterschiedlich langer Zeitschritte untersucht.
 ========= Versuchsdurchführung/aufbau mit Bildern =========
 Die Messung der Kippbewegung des Stabes habe ich mit zwei unterschiedlichen Stäben durchgeführt:\\
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-**1.)** Mit einem "echten Besenstiel" mit einer Länge von l = 1,505 m.\\
+**1.)** Mit einem "echten Besenstiel" mit einer Länge von $l$ = 1,505 m.\\
 {{langer_stab-min.jpg?500}}\\
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-**2.)** Mit einem anderen, kürzeren Holzstab der Länge l = 1,223 m. Dieser ist dünner als ein herkömmlicher Besenstiel und wurd vmtl. als Rankhilfe für Gewächse genutzt.\\
+**2.)** Mit einem anderen, kürzeren Holzstab der Länge $l$ = 1,223 m. Dieser ist dünner als ein herkömmlicher Besenstiel und wurd vmtl. als Rankhilfe für Gewächse genutzt.\\
 {{kurzer_stab-min.jpg?500}}\\
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 Dieses hatte eine Dicke von nur etwa 1-2 cm und sollte die Messungen nicht nennenswert beeinflussen.\\
-Die möglichst reine Fallbewegung war also realisiert. Nun ging es darum, die Falldauer T sowie den Anfangswinkel $\phi_0$ des Stabes zu messen. Für den Anfangswinkel habe ich mir eine große Winkelscheibe ausgedruckt, auf Pappe geklebt und genau hinter das Vliesstück gestellt:\\
+Die möglichst reine Fallbewegung war also realisiert. Nun ging es darum, die Falldauer $T$ sowie den Anfangswinkel $\phi_0$ des Stabes zu messen. Für den Anfangswinkel habe ich mir eine große Winkelscheibe ausgedruckt, auf Pappe geklebt und genau hinter das Vliesstück gestellt:\\
 {{Winkelscheibe.jpg?500}}\\
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 {{Stab Winkelscheibe.jpg?500}}\\
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-Aufgrund der Orientierungsstriche habe ich für die Messungen stets gut ablesbare Anfangswinkel (10°, 20°, 30°,...) genutzt. An dieser Stelle sei gesagt, dass die Winkelmessung der ungenauste Teil meiner Messung ist, alleine schon wegen der endlichen Stabdicke. Darüber hinaus war es nicht einfach, den Stab fest in einer bestimmten Anfangsposition zu halten und dann auch noch die Zeit zu messen. Als Winkelunsicherheit habe ich deshalb etwa 4° veranschlagt - genaueres dazu in dem Versuchsbericht.\\
+Aufgrund der Orientierungsstriche habe ich für die Messungen stets gut ablesbare Anfangswinkel (10°, 20°, 30°,...) genutzt. An dieser Stelle sei gesagt, dass die Winkelmessung der ungenauste Teil meiner Messung ist, alleine schon wegen der endlichen Stabdicke. Darüber hinaus war es nicht einfach, den Stab fest in einer bestimmten Anfangsposition zu halten und dann auch noch die Zeit zu messen. Aus diesem Grund habe ich auch nur bis hoch zu 70° als Anfangswinkel gemessen - bei größeren Winkeln lies sich der Besenstiel nicht mehr gut in einer Anfangsposition fixieren. Als Winkelunsicherheit habe ich etwa 3° veranschlagt - genaueres dazu in dem Versuchsbericht.\\
-Nun galt es noch die Fallzeit des Stabes zu messen. Um die recht kurzen Zeitmessungen mit meiner Schrecksekunde nicht zu stark zu beeinflussen, habe ich nicht per Hand gestoppt, sondern mit der akustischen Stoppuhr der Handy-App **phyphox**. Diese wird durch ein akustisches Ereignis ausgelöst und stoppt bei einem nächsten akustischen Ereignis. Das Auslösungsgeräusch habe ich durch einen kurzen Schlag mit einem Stift auf den Boden erzeugt. Dabei habe ich versucht, den Stab möglichst synchron und **ohne Anschubstoß** (weil die Untersuchung ja ohne Anfangsgeschwindigkeit erfolgen soll) fallen zu lasse. Das war nicht einfach. Gestoppt wurde die Zeitmessung dann durch das Aufprallgeräusch des Stabes auf den Boden bzw. die schützende Textilschicht auf dem Boden. Das Geräusch davon war deutlich zu hören und die akustische Stoppuhr wurde entsprechend gestoppt. Nun wird auch klar, warum ich den Versuch auf dem Boden durchgeführt habe: Zuerst wollte ich nämlich die akustischen Aufnahmen am PC ausführen (u.a. wegen besserem/genauerem Mikrofon als das Handy). Den Versuch selbst könnte ich aber nicht auf dem Schreibtisch ausführen, denn es kam zu Vibrationen (diese habe das Mikrofon "gtriggert") und zudem hatte ich auch nicht genug Platz. Beim massiven Boden gab es diese Probleme nicht. Da ich die akustische Stoppuhr möglichst Nahe am Versuchsaufbau nutzen wollte, habe ich schlussendlich mit dem Handy akustisch gestoppt. Eine Behandlung entsprechender Unsicherheiten der Zeitmessung ist im Versuchsbericht zu finden. Durchgeführt habe ich für jeden Anfangswinkel fünf Messungen, um bei der Auswertung mitteln zu können. Messwerte, bei denen die Stoppuhr aufgrund externer Umgebungsgeräusche falsch gestoppt hat oder bei denen ich dem Stab versehentlich einen Anfangsstoß gegeben habe, habe ich bewusst verworfen und die Messung entsprechend wiederholt.\\
+Nun galt es noch die Fallzeit des Stabes zu messen. Um die recht kurzen Zeitmessungen mit meiner Schrecksekunde nicht zu stark zu beeinflussen, habe ich nicht per Hand gestoppt, sondern mit der akustischen Stoppuhr der Handy-App **phyphox**. Diese wird durch ein akustisches Ereignis ausgelöst und stoppt bei einem nächsten akustischen Ereignis. Das Auslösungsgeräusch habe ich durch einen kurzen Schlag mit einem Stift auf den Boden erzeugt. Dabei habe ich versucht, den Stab möglichst synchron und **ohne Anschubstoß** (weil die Untersuchung ja ohne Anfangsgeschwindigkeit erfolgen soll) fallen zu lassen. Das war nicht einfach. Gestoppt wurde die Zeitmessung dann durch das Aufprallgeräusch des Stabes auf den Boden bzw. die schützende Textilschicht auf dem Boden. Das Geräusch davon war deutlich zu hören und die akustische Stoppuhr wurde entsprechend gestoppt. Nun wird auch klar, warum ich den Versuch auf dem Boden durchgeführt habe: Zuerst wollte ich nämlich die akustischen Aufnahmen am PC ausführen (u.a. wegen besserem/genauerem Mikrofon als das Handy). Den Versuch selbst konnte ich aber nicht auf dem Schreibtisch ausführen, denn es kam zu Vibrationen (diese haben das Mikrofon "getriggert") und zudem hatte ich auch nicht genug Platz. Beim massiven Boden gab es diese Probleme nicht. Da ich die akustische Stoppuhr möglichst Nahe am Versuchsaufbau nutzen wollte, habe ich schlussendlich mit dem Handy akustisch gestoppt. Eine Behandlung entsprechender Unsicherheiten der Zeitmessung ist im Versuchsbericht zu finden. Durchgeführt habe ich für jeden Anfangswinkel fünf Messungen, um bei der Auswertung mitteln zu können. Messwerte, bei denen die Stoppuhr aufgrund externer Umgebungsgeräusche falsch gestoppt hat oder bei denen ich dem Stab versehentlich einen Anfangsstoß gegeben habe, habe ich bewusst verworfen und die Messung entsprechend wiederholt. Die aufgenommenen Messwerte finden sich im nächsten Kapitel dieses "Wiki-Logbuchs".\\
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 **Analog habe ich die Messungen für den zweiten, kürzeren Holzstab durchgeführt.** Es gab lediglich zwei kleine Abänderungen im Versuchsaufbau: Da der kleinere Holzstab anders als der große Besenstiel kein angespitztes Ende hatte, kam es trotz der Verwendung von Malervlies als Untergrund zu einer nicht vernachlässigbaren Rutschbewegung. Aus diesem Grund habe ich in das eine Ende des Holzstabes mittig einen kurzen, dünnen Nagel geschlagen:\\
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 {{Winkel kleiner Stab.jpg?500}}\\
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-Beim kleinen Stab lies sich der Winkel genauer ablesen als beim großen Stab vom ersten Versuch, da der kleine Holzstab dünner war. Alle anderen Messungen wurden für den kleinen Stab exakt so wie beim großen Besenstiel durchgeführt. Allgemein fielen mir die Messungen mit dem kleinen Stab deutlich leichter, da dieser sich aufgrund seines geringeren Gewichts wesentlich besser in einer bestimmten Anfangsposition festhalten lies.
+Beim kleinen Stab ließ sich der Winkel genauer ablesen als beim großen Stab vom ersten Versuch, da der kleine Holzstab dünner war. Alle anderen Messungen wurden für den kleinen Stab exakt so wie beim großen Besenstiel durchgeführt. Allgemein fielen mir die Messungen mit dem kleinen Stab deutlich leichter, da dieser sich aufgrund seines geringeren Gewichts wesentlich besser in einer bestimmten Anfangsposition festhalten ließ. Dokumentation der Messwerte im nächsten Kapitel dieses "Wiki-Logbuchs".
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+In einer letzten Versuchsreihe sollte noch der Einfluss der Luftreibung untersucht werden. Da ich bei mir natürlich kein Vakuum oder Ähnliches erzeugen konnte, habe ich oben an dem kurzen Stab eine etwas gewelltes, sehr leichtes Stück Pappe angebracht. Dieses erzeugt eine hohe Querschnittsfläche an der Stabspitze, die dann entsprechend viel Angriffsfläche für die Luftreibung bietet. Damit die anderen Stabparameter sich nicht verändern, habe ich ein sehr leichtes Stück Pappe gewählt und dieses zudem so an der Stabspitze angebaracht, dass sich die Stablänge $l$ nicht verändert. Durchgeführt habe ich das Reibungsexperiment mit dem kurzen Holzstab, da beim großen, schweren Besenstiel der Einfluss der Pappe kaum bemerkbar gewesen wäre (entsprechende Begründung im Versuchsbericht). Bilder des modifizierten Holzstabes:\\
+{{pappe_1.jpg?500}}\\
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+{{pappe_2.jpg?500}}\\
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+{{pappe_3.jpg?500}}\\
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+Die Messungen der Fallzeit habe ich exakt so wie in den vorigen Experimenten "ohne Reibung" durchgeführt. Eine Messwerttabelle befindet sich im nächsten Kapitel dieses "Logbuchs".
 ========= Messwerttabellen =========
-Für die unterschiedlichen Anfangswinkel habe ich jeweils fünf mal gemessen.\\
+Für die unterschiedlichen Anfangswinkel habe ich **jeweils fünfmal gemessen.**\\
 Die Anfangswinkel $\phi_0$ habe ich jeweils in Abständen von 10° verändert, um auch wirklich verschiedene Winkel gut einstellen zu können.\\
 Bis hoch zu 70° als Anfangswinkel, ab dann waren höhere Winkel nicht mehr gut einstellbar und es hätte eine sehr große Streuung der Messwerte gegeben.\\
@@ Line 137: / Line 150: @@
-<fs large>__1.) Messreihe mit dem längeren Stiel (l = 1,505 m)__</fs>
+<fs large>__1.) Messreihe mit dem längeren Stiel ($l$ = 1,505 m)__</fs>
-^ Messung  ^ $\phi_0$ = 0°= 0 rad  ^ $\phi_0$ = 10°$\approx$ 0,175 rad  ^ $\phi_0$ = 20°$\approx$ 0,349 rad  ^  $\phi_0$ = 30°$\approx$ 0,524 rad ^ $\phi_0$ = 40°$\approx$ 0,698 rad  ^ $\phi_0$ = 50°$\approx$ 0,873 rad  ^ $\phi_0$ = 60°$\approx$ 1,047 rad  ^ $\phi_0$ = 70°$\approx$ 1,222 rad  ^
+^ $\phi_0$   ^ 0°$\mathrel{\hat=}$ 0 rad  ^ 10°$\mathrel{\hat=}$ 0,175 rad  ^ 20°$\mathrel{\hat=}$ 0,349 rad  ^  30°$\mathrel{\hat=}$ 0,524 rad ^ 40°$\mathrel{\hat=}$ 0,698 rad  ^ 50°$\mathrel{\hat=}$ 0,873 rad  ^ 60°$\mathrel{\hat=}$ 1,047 rad  ^ 70°$\mathrel{\hat=}$ 1,222 rad  ^
-| **1**    | 1,415                 | 0,989                              | 0,693                              | 0,619                              | 0,533                              | 0,430                              | 0,352                              | 0,312                              |
+| **T [s]**  | 1,415                      | 0,989                           | 0,693                           | 0,619                           | 0,533                           | 0,430                           | 0,352                           | 0,312                           |
-| **2**    | 1,373                 | 1,045                              | 0,789                              | 0,636                              | 0,497                              | 0,420                              | 0,341                              | 0,255                              |
+| **T [s]**  | 1,373                      | 1,045                           | 0,789                           | 0,636                           | 0,497                           | 0,420                           | 0,341                           | 0,255                           |
-| **3**    | 1,327                 | 1,040                              | 0,745                              | 0,633                              | 0,516                              | 0,416                              | 0,334                              | 0,308                              |
+| **T [s]**  | 1,327                      | 1,040                           | 0,745                           | 0,633                           | 0,516                           | 0,416                           | 0,334                           | 0,308                           |
-| **4**    | 1,427                 | 1,021                              | 0,718                              | 0,621                              | 0,525                              | 0,436                              | 0,349                              | 0,292                              |
+| **T [s]**  | 1,427                      | 1,021                           | 0,718                           | 0,621                           | 0,525                           | 0,436                           | 0,349                           | 0,292                           |
-| **5**    | 1,427                 | 1,006                              | 0,759                              | 0,610                              | 0,537                              | 0,401                              | 0,331                              | 0,291                              |
+| **T [s]**  | 1,427                      | 1,006                           | 0,759                           | 0,610                           | 0,537                           | 0,401                           | 0,331                           | 0,291                           |
 \\
-<fs large>__2.) Messreihe mit dem kürzeren Stiel (l = 1,223 m)__</fs>
+<fs large>__2.) Messreihe mit dem kürzeren Stiel ($l$ = 1,223 m)__</fs>
-^ Messung  ^ $\phi_0$ = 0°= 0 rad  ^ $\phi_0$ = 10°$\approx$ 0,175 rad  ^ $\phi_0$ = 20°$\approx$ 0,349 rad  ^  $\phi_0$ = 30°$\approx$ 0,524 rad ^ $\phi_0$ = 40°$\approx$ 0,698 rad  ^ $\phi_0$ = 50°$\approx$ 0,873 rad  ^ $\phi_0$ = 60°$\approx$ 1,047 rad  ^ $\phi_0$ = 70°$\approx$ 1,222 rad  ^
+^ $\phi_0$   ^ 0°= 0 rad  ^ 10°$\mathrel{\hat=}$ 0,175 rad  ^ 20°$\mathrel{\hat=}$ 0,349 rad  ^  30°$\mathrel{\hat=}$ 0,524 rad ^ 40°$\mathrel{\hat=}$ 0,698 rad  ^ 50°$\mathrel{\hat=}$ 0,873 rad  ^ 60°$\mathrel{\hat=}$ 1,047 rad  ^ 70°$\mathrel{\hat=}$ 1,222 rad  ^
-| **1**    | 1,198                 | 0,938                              | 0,706                              | 0,523                              | 0,487                              | 0,402                              | 0,313                              | 0,221                              |
+| **T [s]**  | 1,198      | 0,938                           | 0,706                           | 0,523                           | 0,487                           | 0,402                           | 0,313                           | 0,221                           |
-| **2**    | 1,314                 | 0,898                              | 0,711                              | 0,566                              | 0,513                              | 0,406                              | 0,290                              | 0,217                              |
+| **T [s]**  | 1,314      | 0,898                           | 0,711                           | 0,566                           | 0,513                           | 0,406                           | 0,290                           | 0,217                           |
-| **3**    | 1,198                 | 0,894                              | 0,735                              | 0,552                              | 0,476                              | 0,377                              | 0,302                              | 0,228                              |
+| **T [s]**  | 1,198      | 0,894                           | 0,735                           | 0,552                           | 0,476                           | 0,377                           | 0,302                           | 0,228                           |
-| **4**    | 1,222                 | 1,001                              | 0,685                              | 0,559                              | 0,498                              | 0,412                              | 0,338                              | 0,244                              |
+| **T [s]**  | 1,222      | 1,001                           | 0,685                           | 0,559                           | 0,498                           | 0,412                           | 0,338                           | 0,244                           |
-| **5**    | 1,210                 | 0,989                              | 0,698                              | 0,539                              | 0,491                              | 0,413                              | 0,323                              | 0,230                              |
+| **T [s]**  | 1,210      | 0,989                           | 0,698                           | 0,539                           | 0,491                           | 0,413                           | 0,323                           | 0,230                           |
+\\
+<fs large>__3.) Messreihe mit dem kürzeren Stiel ($l$ = 1,223 m) und **Luftreibung** wegen Pappe __</fs>
+^ $\phi_0$   ^ 0°= 0 rad  ^ 10°$\mathrel{\hat=}$ 0,175 rad  ^ 20°$\mathrel{\hat=}$ 0,349 rad  ^  30°$\mathrel{\hat=}$ 0,524 rad ^ 40°$\mathrel{\hat=}$ 0,698 rad  ^ 50°$\mathrel{\hat=}$ 0,873 rad  ^ 60°$\mathrel{\hat=}$ 1,047 rad  ^ 70°$\mathrel{\hat=}$ 1,222 rad  ^
+| **T [s]**  | 1,397      | 1,048                           | 0,842                           | 0,701                           | 0,542                           | 0,462                           | 0,372                           | 0,303                           |
+| **T [s]**  | 1,341      | 1,041                           | 0,821                           | 0,662                           | 0,577                           | 0,477                           | 0,394                           | 0,297                           |
+| **T [s]**  | 1,362      | 1,103                           | 0,835                           | 0,691                           | 0,603                           | 0,497                           | 0,369                           | 0,309                           |
+| **T [s]**  | 1,413      | 1,081                           | 0,812                           | 0,688                           | 0,554                           | 0,458                           | 0,391                           | 0,282                           |
+| **T [s]**  | 1,388      | 1,075                           | 0,819                           | 0,664                           | 0,579                           | 0,471                           | 0,376                           | 0,278                           |
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