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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:start [ 7 January 2021 21:11] – [Luftreibung] lukaskoeppa_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:start [21 January 2021 12:22] (current) – [Ergebnisse] lukaskoepp
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 Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{Mark}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s_{Mark}/h}$. Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{Mark}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s_{Mark}/h}$.
 +
 +{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:img_20210104_162352.jpg?400|}}
  
 Unsicherheiten: Unsicherheiten:
Line 39: Line 41:
  
 $ u(\phi_0) = \sqrt{(\frac{h^2 \cdot u(s)}{h \cdot (h^2 + s^2)})^2 + (\frac{- s\cdot h^2 \cdot u(h)}{h^2 \cdot (h^2 + s^2)})^2} =  \frac{0.03m}{\sqrt{h^2 + s^2}} \leq 2^° $ $ u(\phi_0) = \sqrt{(\frac{h^2 \cdot u(s)}{h \cdot (h^2 + s^2)})^2 + (\frac{- s\cdot h^2 \cdot u(h)}{h^2 \cdot (h^2 + s^2)})^2} =  \frac{0.03m}{\sqrt{h^2 + s^2}} \leq 2^° $
 +
 +Den Fehler von einem Satz von Messpunkten $T_i$ erhalten wir aus dem Standardfehler der als Standabweichung$/\sqrt{N}$ gegeben ist.
  
 Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stoppuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile. Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stoppuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile.
Line 57: Line 61:
 | 0,320          | 0,255                    | 0,197  | 0,268  | 0,241  | 0,262  | | 0,320          | 0,255                    | 0,197  | 0,268  | 0,241  | 0,262  |
  
-===== Statistischer Fehler (Messung 1) ===== 
  
-Wir bilden zu jedem Winkel den Mittelwert der Messung und ermitteln dann den absoluten und anschließend relativen Fehler zum Mittelwert. Um einen aussagekräftigen statistischen Fehler zu erhaöten, möchten wir ein signifikantes Intervall haben, sodass mind. $66\%$ der Messerwerte in diesem enthaltn sind. Wir sortieren dafür die realtiven Fehler nach der Größe und betrachten dann den $30 \cdot 0,66 \approx 20.$ Wert. Wir führen diese Betrachtungen für beide Messungen durch. 
- 
- 
-^                ^  Fallzeit/s Messung Nr.                                  ||||| 
-| Messung/m      | 1                        | 2      | 3      | 4      | 5      | 
-| Längenmessung  |                          |        |        |        |        | 
-| 0,160          |0.069|0.019|0.014|0.009|0.091| 
-| 0,365          |0.094|0.014|0.004|0.115|0.027| 
-| 0,665          |0.104|0.036|0.029|0.078|0.033| 
-| 0,930          |0.063|0.003|0.123|0.021|0.064| 
-| Höhenmessung   |                          |        |        |        |        | 
-| 0,655          |0.024|0.018|0.012|0.053|0.014| 
-| 0,320          |0.025|0.05|0.057|0.107|0.071| 
- 
-Wir erhalten also einen relativen Fehler von $u(T) = 6,3\%$. 
  
 ===== 2. Messung ===== ===== 2. Messung =====
Line 92: Line 80:
 | 0,320          | 0,227                    | 0,220  | 0,235  | 0,203  | 0,237  | | 0,320          | 0,227                    | 0,220  | 0,235  | 0,203  | 0,237  |
  
-===== Statistischer Fehler (Messung 2)=====+===== Messung: Einfluss der Luftreibung =====
  
-Das Vorgehen ist analog zu Messung 1.+Wir hängen ein Blatt Papier mit Fläche $A=10,5\cdot 18,6\ (cm)^2 = 0,02\ m^2, u(A) = (0,05\ cm)^2 $ an unseren Besen an und lassen ihn mehrmals zu einem festen Startwinkel $\phi_0 = \arctan{\frac{36,5cm}{92,5cm}} = 21,5°$
  
- \approx +Wir messen die Fallzeiten 
-^                ^  Fallzeit/s Messung Nr.                                  ||||| + 
-| Messung/m      | 1                        | 2      | 3      | 4      | 5      | +| Fallzeit/s  | 0,652  | 0,654  | 0,668  | 0,648  | 0,644  | 
-| Längenmessung  |                          |        |        |        |        | + 
-| 0,160          |0.058|0.005|0.011|0.07|0.028| +und bestimmen die Unsicherheit $u(T)$ erneut über die Standardabweichung. 
-| 0,365          |0.097|0.028|0.032|0.011|0.084| + 
-| 0,665          |0.035|0.043|0.046|0.007|0.062| +===== Ergebnisse ===== 
-| 0,930          |0.029|0.064|0.159|0.004|0.038| + 
-| Höhenmessung   |                          |        |        |        |        | + 
-| 0,655          |0.024|0.006|0.071|0.003|0.024| +{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:bsesenstiel.png?800|}}
-| 0,320          |0.036|0.081|0.044|0.153|0.056|+
  
-Wir erhalten also einen relativen Fehler von $u(T) = 5,6\%$.+Der Übersichtlichkeit halber zeichnen wir die numerischen Graphen kontinuierlich, obwohl wir diese nur für $N=100$ Punkte berechnet haben. 
 + 
 +Wir sehen, dass unsere Vorhersage nicht ganz stimmen. Die Diskussion möglicher Fehlerquellen erfolgt weiter unten. 
 + 
 +Wir sehen außerdem, dass die Luftreibung die Fallzeit des Besenstiels durch das Anhängen eines Blatt Papiers verlängert. Aufgrund einer Messung zu einem späteren Zeitpunkt können wir hier aber nicht ganz sicher sein, ob es nicht kleine Veränderungen z.B. in der Zeitstoppung gab. 
 +====== Weitere Messunsicherheiten ====== 
 + 
 +Wir betrachten weitere Störquellen. 
 + 
 + 
 +In Bezug auf die Schallreflexion mit $c \approx 300 m/s$ haben wir bei unserer Küche mit ca. 3m Länge bereits bei Reflexion von zum Beispiel $R \approx 80 \% $ schon nach $t=0.1s$ eine Dämpfung auf $0,9^{10} \approx 10 \% $ der Ausgangsleistung. Außerdem vermuten wir, dass die Erkennung des Anstiegs des Schallpegels über einen Treshhold nicht von der Relflexion beeinflusst wird, bzw. im Aufschlag des Besen der ersten Schallpeak in jeder Messung deutlich abgefallen ist. 
 + 
 +Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner. 
 + 
 +Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren. Dies könnte verantwortlich sein für die systematisch zu geringe gemessene Fallzeit. 
 + 
 +====== Luftreibung ====== 
 + 
 +Wir betrachten als Modell für die Luftreibung eine Form der Newton Reibung für turbulente Fluide. Wir erhalten als Reibungsmodell also 
 + 
 +$ F_R = ½ A c_w \rho_{Luft} v^2$  
 + 
 +wobei $A$ die Querschnittsfläche, $c_w$ der Luftwiderstandsbeiwert, $\rho_{Luft} \approx 1$ die Luftdichte. Wir vereinfachen weiter und nehmen die Stäbe als Flächen an. Wir erhalten also $A = rl$ für den Stabradius $r$ und die Stablänge $l$. Auf Wikipedia finden wir den (geometrieabhängigen) $ 0,4 \leq c_w \leq 1,2 $ für einen Zylinder abhängig von der Reynolds-Zahl, die sich im Versuchsverlauf jedoch auch ändert. Wir nehmen $c_w \approx 1$ an. Wir betrachten die Geschwindigkeit als konstant über dem Vierteilkreisbogen für den Schwerpunkt 
 + 
 +$ v = S/T = \pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T $ 
 + 
 +Wir erhalten für den Besen mit $r_B \approx 0.011 m$ und und $l_{Besen} = 1,30 m$ und dem Eisenstab mir $r_E = 0.004 m$ und $l_{Besen} = 1,02 m$ für $T = 0,5s$ also 
 + 
 +$ F_{R, Besen} \approx ½ r l (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,030 N \\ F_{R, Eisen} \approx 0,005 N $ 
 + 
 +Verglichen mit der Gravitation sind wir also um mindestens zwei Größenordnungen kleiner, selbst wenn die effektive Gravitation $g_{eff} \leq 9.81$ etwas kleiner als der Ortsfaktor durch durch den $\sin{\phi}$ ist. Wir betrachten den Einfluss der Luftreibung zumindest für die im Versuch verwendeten Geometrien als irrelevant. 
 + 
 +Wir betrachten noch einmal das Anhängen eines Blatt Papiers an den Besen. Für eine lange Rechteckplatte erhalten wir hier $c_w = 2$. Wir haben $A_{Papier} = 0,02\ m^2$ gegeben. Damit errechnet sich mit 
 + 
 +$F_{R, Papier} \approx  ½ A c_w (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,08 N$ 
 + 
 +für den Besenstiel ein Gesamtwert von $F \approx F_{R, Besen} + F_{R, Papier} \approx 0,11 N$, was theoretisch einen kleinen Einfluss auf die Fallzeit haben könnte.
 ====== Computerprogramm ====== ====== Computerprogramm ======
  
Line 167: Line 190:
 Die Winkelbeschleunigung beträgt $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2 \cdot l} $. Dann beträgt die Beschleunigung am Ende des Stabes $ a = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2} $. Diese ist senkrecht zu dem Stab ausgerichtet, aber uns interessiert der Anteil senkrecht zum Boden, also $ a_z = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)^2}{2} $. Diese Beschleunigung ist g genau dann, wenn $ 1 = \frac{3 \cdot sin(\phi)^2}{2} \Leftrightarrow \phi = arcsin(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 0.955 = 54.7^° $ Die Winkelbeschleunigung beträgt $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2 \cdot l} $. Dann beträgt die Beschleunigung am Ende des Stabes $ a = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2} $. Diese ist senkrecht zu dem Stab ausgerichtet, aber uns interessiert der Anteil senkrecht zum Boden, also $ a_z = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)^2}{2} $. Diese Beschleunigung ist g genau dann, wenn $ 1 = \frac{3 \cdot sin(\phi)^2}{2} \Leftrightarrow \phi = arcsin(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 0.955 = 54.7^° $
  
-===== Messung ===== 
- 
-<code python [enable_line_numbers="true"] messung.py > 
- 
-import numpy as np 
-import matplotlib.pyplot as plt 
- 
-h_kueche = 0.92 
-s_mark = 0.9 
- 
-s1 = [0.160, 0.365, 0.665, 0.930] 
-h1 = [0.655, 0.320] 
- 
-winkel = [np.arctan(x/h_kueche) for x in s1] + [np.arctan(s_mark/x) for x in h1] 
-print('winkel1', winkel) 
- 
-t_laengen1 = [[0.685, 0.733, 0.749, 0.742, 0.768], 
-             [0.552, 0.518, 0.572, 0.583, 0.585], 
-             [0.436, 0.451, 0.394, 0.387, 0.406], 
-             [0.353, 0.383, 0.372, 0.337, 0.399]] 
-t_laengen1 = [sum(x)/len(x) for x in t_laengen1] 
- 
-t_hoehen1 = [[0.315, 0.299, 0.315, 0.304, 0.292], 
-            [0.255, 0.197, 0.268, 0.241, 0.262]] 
-t_hoehen1 = [sum(x)/len(x) for x in t_hoehen1] 
-t1 = t_laengen1 + t_hoehen1 
- 
-print('t1', t1) 
-   
-# Winkel wie gehabt 
- 
-t_laengen2 = [[0.723, 0.667, 0.708, 0.681, 0.637], 
-             [0.490, 0.513, 0.519, 0.493, 0.531], 
-             [0.369, 0.381, 0.433, 0.409, 0.410], 
-             [0.362, 0.346, 0.339, 0.375, 0.400]] 
-t_laengen2 = [sum(x)/len(x) for x in t_laengen2] 
- 
-t_hoehen2 = [[0.286, 0.307, 0.333, 0.283, 0.303], 
-            [0.227, 0.220, 0.235, 0.203, 0.237]] 
-t_hoehen2 = [sum(x)/len(x) for x in t_hoehen2] 
-t2 = t_laengen2 + t_hoehen2 
- 
- 
-#relativer Fehler 
-n=5 
-index = 19 
-abs_error1 = [abs(t1_mean[i] - t1[i][k]) for k in range(n) for i in range(len(t1_mean))] 
-rel_error1 = [abs_error1[i*n+k]/t1_mean[i] for k in range(n) for i in range(len(t1_mean))] 
- 
-string = '|' 
-for i, el in enumerate(rel_error1): 
-    string += str(round(el, 3)) + '|' 
-    if i%5 == 4: 
-        print(string) 
-        string = '|' 
-                   
-rel_error1.sort() 
-print(len(rel_error1), rel_error1[index]) 
- 
- 
-abs_error2 = [abs(t2_mean[i] - t2[i][k]) for k in range(n) for i in range(len(t2_mean))] 
-rel_error2 = [abs_error2[i*n+k]/t2_mean[i] for k in range(n) for i in range(len(t2_mean))] 
- 
-string = '|' 
-for i, el in enumerate(rel_error2): 
-    string += str(round(el, 3)) + '|' 
-    if i%5 == 4: 
-        print(string) 
-        string = '|' 
- 
-rel_error2.sort() 
-print(len(rel_error2), rel_error2[index]) 
- 
- 
-x_err, y_err = 0, 0  
-plt.errorbar(winkel, t1, xerr=x_err, yerr=y_err, marker='o', ls='', label='Messung Besen, l=1,32m') 
-plt.errorbar(winkel, t2, xerr=x_err, yerr=y_err, ls='', marker='o', label='Messung Eisenstab, l=1,02m') 
-plt.xlabel('Winkel in rad') 
-plt.ylabel('Periodendauer in s') 
-plt.legend() 
-plt.show() 
- 
-</code> 
- 
-{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:bsesenstiel.png?800|}} 
- 
-Der Übersichtlichkeit halber zeichnen wir die numerischen Graphen kontinuierlich, obwohl wir diese nur für $N=100$ Punkte berechnet haben. Der Übersichtlichkeit zeichnen wir die Fehlerbalken ebenfalls nicht ein. 
-====== Weitere Messunsicherheiten ====== 
- 
-Wir betrachten weitere Störquellen. 
- 
- 
-In Bezug auf die Schallreflexion mit $c \approx 300 m/s$ haben wir bei unserer Küche mit ca. 3m Länge bereits bei Reflexion von zum Beispiel $R \approx 80 \% $ schon nach $t=0.1s$ eine Dämpfung auf $0,9^{10} \approx 10 \% $ der Ausgangsleistung. Außerdem vermuten wir, dass die Erkennung des Anstiegs des Schallpegels über einen Treshhold nicht von der Relflexion beeinflusst wird, bzw. im Aufschlag des Besen der ersten Schallpeak in jeder Messung deutlich abgefallen ist. 
- 
-Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner. 
- 
-Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren. Dies könnte verantwortlich sein für die systematisch zu geringe gemessene Fallzeit. 
- 
-====== Luftreibung ====== 
- 
-Wir betrachten als Modell für die Luftreibung eine Form der Newton Reibung für turbulente Fluide. Wir erhalten als Reibungsmodell also 
- 
-$ F_R = ½ A c_w \rho_{Luft} v^2$  
- 
-wobei $A$ die Querschnittsfläche, $c_w$ der Luftwiderstandsbeiwert, $\rho_{Luft} \approx 1$ die Luftdichte. Wir vereinfachen weiter und nehmen die Stäbe als Flächen an. Wir erhalten also $A = rl$ für den Stabradius $r$ und die Stablänge $l$. Auf Wikipedia finden wir den (geometrieabhängigen) $ 0,4 \leq c_w \leq 1,2 $ für einen Zylinder abhängig von der Reynolds-Zahl, die sich im Versuchsverlauf jedoch auch ändert. Wir nehmen $c_w \approx 1$ an. Wir betrachten die Geschwindigkeit als konstant über dem Vierteilkreisbogen für den Schwerpunkt 
- 
-$ v = S/T = \pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T $ 
- 
-Wir erhalten für den Besen mit $r_B \approx 0.011 m$ und und $l_{Besen} = 1,30 m$ und dem Eisenstab mir $r_E = 0.004 m$ und $l_{Besen} = 1,02 m$ für $T = 0,5s$ also 
- 
-$ F_{R, Besen} \approx ½ r l (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,030 N, F_{R, Eisen} \approx 0,005 N $ 
  
-Verglichen mit der Gravitation sind wir also um mindestens zwei Größenordnungen kleiner, selbst wenn die effektive Gravitation $F_{G, eff} \leq 9.81$ etwas kleiner als der Ortsfaktor durch durch den $\sin{\phi}$ ist. Wir betrachten den Einfluss der Luftreibung zumindest für die im Versuch verwendeten Geometrien als irrelevant.