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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:start [ 4 January 2021 18:55] – [Computerprogramm] juliusriekenberg | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:start [21 January 2021 12:22] (current) – [Ergebnisse] lukaskoepp | ||
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Wir erhalten folgende Bewegungsgleichung für den Winkel $\phi$ des Körpers in Bezug auf das Drehmoment $J$ | Wir erhalten folgende Bewegungsgleichung für den Winkel $\phi$ des Körpers in Bezug auf das Drehmoment $J$ | ||
- | $ J \ddot{\phi} = F_G $ | + | $ J \ddot{\phi} = F_G \cdot \frac{l}{2} = m \cdot g \cdot sin(\phi) \cdot \frac{l}{2}$ |
- | Da $J \propto m$ kürzt sich die Masse und wir sehen, dass diese keinen Einfluss hat. | + | Für J ohne Luftreibung gilt: |
- | Die Länge | + | $ J = \int_{0}^{l} x^2 \cdot \frac{m}{l} \,dx = \frac{m \cdot l^2}{3} $ |
- | Gleiches gilt hier für das Ausbalancieren eines Besens. | + | Es ergibt sich nun die Differentialgleichung $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g}{2 \cdot l} \cdot sin(\phi) $ und wir erkennen, dass die Masse bei einer reibungsfreien Bewegung irrelevant ist. |
+ | |||
+ | Die Länge $l$ tritt antiproportional in der Gleichung auf, ist also die Länge größer so wird auch die Fallzeit größer | ||
+ | |||
+ | Gleiches gilt hier für das Ausbalancieren eines Besens. | ||
Der Anfangswinkel $\phi_0$ spielt eine entscheidene Rolle. Für $\phi_0 = 0$ befinden wir uns auf einem instabilen Extremum, was theoretisch eine unendlich lange Fallzeit haben kann. Real wird der Besenstiel irgendwann aus der Ruhe gebracht. Durch Erhöhung vom Anfangswinkel erreichen wir natürlcih kürzere Fallzeiten, bis wir bei $\phi_0 = \pi/2$ beim Boden ankommen. | Der Anfangswinkel $\phi_0$ spielt eine entscheidene Rolle. Für $\phi_0 = 0$ befinden wir uns auf einem instabilen Extremum, was theoretisch eine unendlich lange Fallzeit haben kann. Real wird der Besenstiel irgendwann aus der Ruhe gebracht. Durch Erhöhung vom Anfangswinkel erreichen wir natürlcih kürzere Fallzeiten, bis wir bei $\phi_0 = \pi/2$ beim Boden ankommen. | ||
Line 24: | Line 28: | ||
- | Zuerst betrachten wir einen Besen. Dieser hat die Länge $l_{Besen} = 1,30 \pm 0,01m$. | + | Zuerst betrachten wir einen Besen. Dieser hat die Länge $l_{Besen} = 1,30 \pm 0,03m$. |
- | Wir messen die Starthöhe und bestimmen $\phi_0 = \arctan{s/h}$, wobei $s$ die Entferneung entlang der Küchenzeile und $h$ bei die Höhe der Kückenzeile ist. | + | Wir messen die Starthöhe und bestimmen $\phi_0 = \arctan{s/h_k}$, wobei $s$ die Entferneung entlang der Küchenzeile und $h_k$ bei die Höhe der Kückenzeile ist. |
- | Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{fest}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s/h}$. | + | Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{Mark}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s_{Mark}/h}$. |
- | Unsicherheiten $u(h) = 0,03m; u(T) = 0.1s???$ | + | {{: |
- | Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stopuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile. | + | Unsicherheiten: |
- | Höhe Küchenzeile | + | $ u(s$ bzw. $h) = 0,03m, u(T) = 0.1s $ |
- | Entfernung Markierung $s_{Mark} = 0,90 \pm 0,01m$. | + | $ u(\phi_0) = \sqrt{(\frac{h^2 \cdot u(s)}{h \cdot (h^2 + s^2)})^2 + (\frac{- s\cdot h^2 \cdot u(h)}{h^2 \cdot (h^2 + s^2)})^2} = \frac{0.03m}{\sqrt{h^2 + s^2}} \leq 2^° $ |
+ | |||
+ | Den Fehler von einem Satz von Messpunkten $T_i$ erhalten wir aus dem Standardfehler der als Standabweichung$/ | ||
+ | |||
+ | Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stoppuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile. | ||
+ | |||
+ | Höhe Küchenzeile $h_k = 0,92 \pm 0,03m$. | ||
+ | |||
+ | Entfernung Markierung $s_{Mark} = 0,90 \pm 0,03m$. | ||
^ ^ Fallzeit/s Messung Nr. ||||| | ^ ^ Fallzeit/s Messung Nr. ||||| | ||
Line 68: | Line 80: | ||
| 0,320 | 0,227 | 0,220 | 0,235 | 0,203 | 0,237 | | | 0,320 | 0,227 | 0,220 | 0,235 | 0,203 | 0,237 | | ||
+ | ===== Messung: Einfluss der Luftreibung ===== | ||
- | ====== Computerprogramm ====== | + | Wir hängen ein Blatt Papier mit Fläche $A=10,5\cdot 18,6\ (cm)^2 |
- | ===== Numerisches Verfahren ===== | + | Wir messen die Fallzeiten |
+ | | Fallzeit/ | ||
- | ===== Messung ===== | + | und bestimmen die Unsicherheit $u(T)$ erneut über die Standardabweichung. |
- | <code c [enable_line_numbers=" | + | ===== Ergebnisse ===== |
- | import numpy as np | ||
- | import matplotlib.pyplot as plt | ||
- | h_kueche = 0.92 | + | {{: |
- | s_mark = 0.9 | + | |
- | s1 = [0.160, 0.365, 0.665, 0.930] | + | Der Übersichtlichkeit halber zeichnen wir die numerischen Graphen kontinuierlich, obwohl wir diese nur für $N=100$ Punkte berechnet haben. |
- | h1 = [0.655, 0.320] | + | |
- | winkel = [np.arctan(x/ | + | Wir sehen, dass unsere Vorhersage nicht ganz stimmen. Die Diskussion möglicher Fehlerquellen erfolgt weiter unten. |
- | print(' | + | |
- | t_laengen1 = [[0.685, 0.733, 0.749, 0.742, 0.768], | + | Wir sehen außerdem, dass die Luftreibung die Fallzeit des Besenstiels durch das Anhängen eines Blatt Papiers verlängert. Aufgrund einer Messung zu einem späteren Zeitpunkt können wir hier aber nicht ganz sicher sein, ob es nicht kleine Veränderungen z.B. in der Zeitstoppung gab. |
- | [0.552, 0.518, 0.572, 0.583, 0.585], | + | ====== Weitere Messunsicherheiten ====== |
- | | + | |
- | | + | |
- | t_laengen1 | + | |
- | t_hoehen1 = [[0.315, 0.299, 0.315, 0.304, 0.292], | + | Wir betrachten weitere Störquellen. |
- | [0.255, 0.197, 0.268, 0.241, 0.262]] | + | |
- | t_hoehen1 = [sum(x)/ | + | |
- | t1 = t_laengen1 + t_hoehen1 | + | |
- | print(' | ||
- | | ||
- | # Winkel wie gehabt | ||
- | t_laengen2 | + | In Bezug auf die Schallreflexion mit $c \approx 300 m/s$ haben wir bei unserer Küche mit ca. 3m Länge bereits bei Reflexion von zum Beispiel $R \approx 80 \% $ schon nach $t=0.1s$ eine Dämpfung auf $0,9^{10} \approx 10 \% $ der Ausgangsleistung. Außerdem vermuten wir, dass die Erkennung des Anstiegs des Schallpegels über einen Treshhold nicht von der Relflexion beeinflusst wird, bzw. im Aufschlag des Besen der ersten Schallpeak in jeder Messung deutlich abgefallen ist. |
- | [0.490, 0.513, 0.519, 0.493, 0.531], | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | t_laengen2 = [sum(x)/ | + | |
- | t_hoehen2 = [[0.286, 0.307, 0.333, 0.283, 0.303], | + | Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner. |
- | [0.227, 0.220, 0.235, 0.203, 0.237]] | + | |
- | t_hoehen2 = [sum(x)/ | + | |
- | t2 = t_laengen2 + t_hoehen2 | + | |
- | x_err, y_err = 0, 0 | + | Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren. Dies könnte verantwortlich sein für die systematisch zu geringe gemessene Fallzeit. |
- | plt.errorbar(winkel, | + | |
- | plt.errorbar(winkel, | + | |
- | plt.xlabel(' | + | |
- | plt.ylabel(' | + | |
- | plt.legend() | + | |
- | plt.show() | + | |
- | </ | + | ====== Luftreibung ====== |
+ | Wir betrachten als Modell für die Luftreibung eine Form der Newton Reibung für turbulente Fluide. Wir erhalten als Reibungsmodell also | ||
+ | $ F_R = ½ A c_w \rho_{Luft} v^2$ | ||
- | ====== Balder lutscht Eier ====== | + | wobei $A$ die Querschnittsfläche, |
- | ====== Weitere Messunsicherheiten ====== | + | $ v = S/T = \pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T $ |
- | Wir betrachten weitere Störquellen. | + | Wir erhalten für den Besen mit $r_B \approx 0.011 m$ und und $l_{Besen} = 1,30 m$ und dem Eisenstab mir $r_E = 0.004 m$ und $l_{Besen} = 1,02 m$ für $T = 0,5s$ also |
+ | $ F_{R, Besen} \approx ½ r l (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,030 N \\ F_{R, Eisen} \approx 0,005 N $ | ||
- | In Bezug auf die Schallreflexion | + | Verglichen |
- | Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner. | + | Wir betrachten noch einmal das Anhängen eines Blatt Papiers an den Besen. Für eine lange Rechteckplatte erhalten wir hier $c_w = 2$. Wir haben $A_{Papier} = 0,02\ m^2$ gegeben. Damit errechnet sich mit |
- | Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren. | + | $F_{R, Papier} \approx |
- | Außerdem ist im Moment des Loslassens | + | für den Besenstiel |
+ | ====== Computerprogramm ====== | ||
- | ====== | + | ===== Numerisches Verfahren |
- | Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung | + | ==== 1 Bestimmung |
- | des Heim-Versuchs " | + | |
- | im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was | + | |
- | Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen. | + | |
- | Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form | ||
- | und Formatierung sind dabei zweitrangig. | ||
- | Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen | + | <code python [enable_line_numbers=" |
- | Zugriffsrechten ausgestattet: | + | import numpy |
- | - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite. | + | import matplotlib.pyplot as plt |
- | - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar. | + | |
- | Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt " | ||
- | findet die Kommunikation mit Ihrem Tutor statt. Sie oder er wird Ihnen dort | ||
- | Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben. | ||
- | Hier im Wiki gibt es [[:vorlage-versuchsbericht: | + | def evaluate(length, |
- | Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie | + | |
- | dann im Ilias ab. | + | phi = phi0 |
+ | v_phi = 0 | ||
+ | time = 0 | ||
+ | while phi < numpy.pi / 2: | ||
+ | a_phi = numpy.sin(phi) / tau_quadrat | ||
+ | v_phi += timestep * a_phi | ||
+ | phi += timestep * v_phi | ||
+ | time += timestep | ||
+ | return time | ||
- | < | ||
- | den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre | ||
- | eigenen inhalte ersetzen. </ | ||
- | ===== Computerprogramm ===== | + | # testing the evaluation |
- | Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung < | + | prec_test |
+ | phi0s_test = [0 + prec_test * i for i in range(1, round(2 * numpy.pi / prec_test) + 1)] | ||
+ | sols_test = [evaluate(1.45, phi0, 0.01) for phi0 in phi0s_test] | ||
+ | plt.plot(phi0s_test, sols_test, label=' | ||
+ | plt.legend() | ||
+ | plt.show() | ||
+ | print(' | ||
- | Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig. | ||
- | Beispiel: | + | def find_sol(length, |
- | < | + | |
- | #include < | + | for i in range(10): |
- | int main() | + | sol = evaluate(length, phi0, 0.1 ** i) |
- | { | + | if prev and abs(sol |
- | | + | break |
- | return 0; | + | prev = sol |
- | } | + | return |
- | </ | + | |
- | wird dargestellt als | + | |
- | <code c [enable_line_numbers=" | + | |
- | # | + | |
- | int main() | + | |
- | { | + | |
- | printf(" | + | |
- | return | + | |
- | } | + | |
- | </ | + | |
- | ===== Bilder einbinden ===== | ||
- | Ihr Versuchsaufbau sollte so beschrieben sein, dass er für sich stehend verständlich ist - gerne mit einem Foto. | ||
- | Ein Bild laden Sie ins Wiki, indem Sie im Editor in der Knopfleiste auf den kleinen Bildrahmen klicken. In einem neuen Fenster öffnet sich ein Dialog mit einem Dateibaum. Dort navigieren Sie zu " | + | def find_sols(lengths, phi0s, prec): |
- | + | sols = {} | |
- | Im einfachsten Fall landet ein Bild direkt an der Stelle im Text, an der Sie es eingefügt haben (Siehe | + | for length in lengths: |
- | + | phi_sols = [] | |
- | ===== Tabellen | + | for phi0 in phi0s: |
- | Für eine Tabelle mit Ihren Messwerten gibt es im oben im Editfenster des Wikis eine Hilfsfunktion. Sie versteckt sich hinter einem Knopf der so aussieht, wie ein hellblauer Taschenrechner. | + | phi_sols += [find_sol(length, |
+ | sols[length] = [phi0s, phi_sols] | ||
+ | return sols | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ==== 2 Beschleunigung des Endes ==== | ||
- | ===== Syntax und Funktionen im Wiki ===== | + | Die Winkelbeschleunigung beträgt $ \ddot{\phi} |
- | Hier noch Links zu | + | |
- | * den [[doku> | + | |
- | * [[: | + | |
- | * [[: | + | |