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--- a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:start [ 4 January 2021 18:24] – [Vorüberlegungen] lukaskoepp
+++ a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:start [21 January 2021 12:22] (current) – [Ergebnisse] lukaskoepp
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 Wir erhalten folgende Bewegungsgleichung für den Winkel $\phi$ des Körpers in Bezug auf das Drehmoment $J$
-$ J \ddot{\phi} = F_G $
+$ J \ddot{\phi} = F_G \cdot \frac{l}{2} = m \cdot g \cdot sin(\phi) \cdot \frac{l}{2}$
+Für J ohne Luftreibung gilt:
+$ J = \int_{0}^{l} x^2 \cdot \frac{m}{l} \,dx = \frac{m \cdot l^2}{3} $
+Es ergibt sich nun die Differentialgleichung $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g}{2 \cdot l} \cdot sin(\phi) $ und wir erkennen, dass die Masse bei einer reibungsfreien Bewegung irrelevant ist.
+Die Länge $l$ tritt antiproportional in der Gleichung auf, ist also die Länge größer so wird auch die Fallzeit größer
+Gleiches gilt hier für das Ausbalancieren eines Besens. Ist die Masse nicht homogen verteilt, so drehen wir den Besen, dass der massereiche Anteil weit entfernt ist. Dies erhöht das Trägheitsmoment und der Besen kommt nicht so schnell aus der Balance.
+Der Anfangswinkel $\phi_0$ spielt eine entscheidene Rolle. Für $\phi_0 = 0$ befinden wir uns auf einem instabilen Extremum, was theoretisch eine unendlich lange Fallzeit haben kann. Real wird der Besenstiel irgendwann aus der Ruhe gebracht. Durch Erhöhung vom Anfangswinkel erreichen wir natürlcih kürzere Fallzeiten, bis wir bei $\phi_0 = \pi/2$ beim Boden ankommen.
 ====== Messung ======
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-Zuerst betrachten wir einen Besen. Dieser hat die Länge $l_{Besen} = 1,30 \pm 0,01m$.
+Zuerst betrachten wir einen Besen. Dieser hat die Länge $l_{Besen} = 1,30 \pm 0,03m$.
-Wir messen die Starthöhe und bestimmen $\phi_0 = \arctan{s/h}$, wobei $s$ die Entferneung entlang der Küchenzeile und $h$ bei die Höhe der Kückenzeile ist.
+Wir messen die Starthöhe und bestimmen $\phi_0 = \arctan{s/h_k}$, wobei $s$ die Entferneung entlang der Küchenzeile und $h_k$ bei die Höhe der Kückenzeile ist.
-Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{fest}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s/h}$.
+Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{Mark}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s_{Mark}/h}$.
-Unsicherheiten $u(h) = 0,03m; u(T) = 0.1s???$
+{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:img_20210104_162352.jpg?400|}}
-Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stopuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile.
+Unsicherheiten:
-Höhe Küchenzeile $h_k = 0,92 \pm 0,01m$.
+$ u(s$ bzw. $h) = 0,03m, u(T) = 0.1s $
-Entfernung Markierung $s_{Mark} = 0,90 \pm 0,01m$.
+$ u(\phi_0) = \sqrt{(\frac{h^2 \cdot u(s)}{h \cdot (h^2 + s^2)})^2 + (\frac{- s\cdot h^2 \cdot u(h)}{h^2 \cdot (h^2 + s^2)})^2} =  \frac{0.03m}{\sqrt{h^2 + s^2}} \leq 2^° $
+Den Fehler von einem Satz von Messpunkten $T_i$ erhalten wir aus dem Standardfehler der als Standabweichung$/\sqrt{N}$ gegeben ist.
+Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stoppuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile.
+Höhe Küchenzeile $h_k = 0,92 \pm 0,03m$.
+Entfernung Markierung $s_{Mark} = 0,90 \pm 0,03m$.
 ^                ^  Fallzeit/s Messung Nr.                                  |||||
@@ Line 60: / Line 80: @@
 | 0,320          | 0,227                    | 0,220  | 0,235  | 0,203  | 0,237  |
+===== Messung: Einfluss der Luftreibung =====
-====== Computerprogramm ======
+Wir hängen ein Blatt Papier mit Fläche $A=10,5\cdot 18,6\ (cm)^2 = 0,02\ m^2, u(A) = (0,05\ cm)^2 $ an unseren Besen an und lassen ihn mehrmals zu einem festen Startwinkel $\phi_0 = \arctan{\frac{36,5cm}{92,5cm}} = 21,5°$
-===== Messung =====
+Wir messen die Fallzeiten
-<code c [enable_line_numbers="true"] messung.py >
+| Fallzeit/s  | 0,652  | 0,654  | 0,668  | 0,648  | 0,644  |
-import numpy as np
+und bestimmen die Unsicherheit $u(T)$ erneut über die Standardabweichung.
-import matplotlib.pyplot as plt
-h_kueche = 0.92
+===== Ergebnisse =====
-s_mark = 0.9
-s1 = [0.160, 0.365, 0.665, 0.930]
-h1 = [0.655, 0.320]
-winkel = [np.arctan(x/h_kueche) for x in s1] + [np.arctan(s_mark/x) for x in h1]
+{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe342:bsesenstiel.png?800|}}
-print('winkel1', winkel)
-t_laengen1 = [[0.685, 0.733, 0.749, 0.742, 0.768],
+Der Übersichtlichkeit halber zeichnen wir die numerischen Graphen kontinuierlich, obwohl wir diese nur für $N=100$ Punkte berechnet haben.
-             [0.552, 0.518, 0.572, 0.583, 0.585],
-             [0.436, 0.451, 0.394, 0.387, 0.406],
-             [0.353, 0.383, 0.372, 0.337, 0.399]]
-t_laengen1 = [sum(x)/len(x) for x in t_laengen1]
-t_hoehen1 = [[0.315, 0.299, 0.315, 0.304, 0.292],
+Wir sehen, dass unsere Vorhersage nicht ganz stimmen. Die Diskussion möglicher Fehlerquellen erfolgt weiter unten.
-            [0.255, 0.197, 0.268, 0.241, 0.262]]
-t_hoehen1 = [sum(x)/len(x) for x in t_hoehen1]
-t1 = t_laengen1 + t_hoehen1
-print('t1', t1)
+Wir sehen außerdem, dass die Luftreibung die Fallzeit des Besenstiels durch das Anhängen eines Blatt Papiers verlängert. Aufgrund einer Messung zu einem späteren Zeitpunkt können wir hier aber nicht ganz sicher sein, ob es nicht kleine Veränderungen z.B. in der Zeitstoppung gab.
+====== Weitere Messunsicherheiten ======
-# Winkel wie gehabt
-t_laengen2 = [[0.723, 0.667, 0.708, 0.681, 0.637],
+Wir betrachten weitere Störquellen.
-             [0.490, 0.513, 0.519, 0.493, 0.531],
-             [0.369, 0.381, 0.433, 0.409, 0.410],
-             [0.362, 0.346, 0.339, 0.375, 0.400]]
-t_laengen2 = [sum(x)/len(x) for x in t_laengen2]
-t_hoehen2 = [[0.286, 0.307, 0.333, 0.283, 0.303],
-            [0.227, 0.220, 0.235, 0.203, 0.237]]
-t_hoehen2 = [sum(x)/len(x) for x in t_hoehen2]
-t2 = t_laengen2 + t_hoehen2
-x_err, y_err = 0, 0
+In Bezug auf die Schallreflexion mit $c \approx 300 m/s$ haben wir bei unserer Küche mit ca. 3m Länge bereits bei Reflexion von zum Beispiel $R \approx 80 \% $ schon nach $t=0.1s$ eine Dämpfung auf $0,9^{10} \approx 10 \% $ der Ausgangsleistung. Außerdem vermuten wir, dass die Erkennung des Anstiegs des Schallpegels über einen Treshhold nicht von der Relflexion beeinflusst wird, bzw. im Aufschlag des Besen der ersten Schallpeak in jeder Messung deutlich abgefallen ist.
-plt.errorbar(winkel, t1, xerr=x_err, yerr=y_err, marker='o', ls='', label='Messung Besen, l=1,32m')
-plt.errorbar(winkel, t2, xerr=x_err, yerr=y_err, ls='', marker='o', label='Messung Eisenstab, l=1,02m')
-plt.xlabel('Winkel in rad')
-plt.ylabel('Periodendauer in s')
-plt.legend()
-plt.show()
-</code>
+Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner.
+Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren. Dies könnte verantwortlich sein für die systematisch zu geringe gemessene Fallzeit.
+====== Luftreibung ======
-====== Balder lutscht Eier ======
+Wir betrachten als Modell für die Luftreibung eine Form der Newton Reibung für turbulente Fluide. Wir erhalten als Reibungsmodell also
-====== Weitere Messunsicherheiten ======
+$ F_R = ½ A c_w \rho_{Luft} v^2$
-Wir betrachten weitere Störquellen.
+wobei $A$ die Querschnittsfläche, $c_w$ der Luftwiderstandsbeiwert, $\rho_{Luft} \approx 1$ die Luftdichte. Wir vereinfachen weiter und nehmen die Stäbe als Flächen an. Wir erhalten also $A = rl$ für den Stabradius $r$ und die Stablänge $l$. Auf Wikipedia finden wir den (geometrieabhängigen) $ 0,4 \leq c_w \leq 1,2 $ für einen Zylinder abhängig von der Reynolds-Zahl, die sich im Versuchsverlauf jedoch auch ändert. Wir nehmen $c_w \approx 1$ an. Wir betrachten die Geschwindigkeit als konstant über dem Vierteilkreisbogen für den Schwerpunkt
+$ v = S/T = \pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T $
-In Bezug auf die Schallreflexion mit $c \approx 300 m/s$ haben wir bei unserer Küche mit ca. 3m Länge bereits bei Reflexion von zum Beispiel $R \approx 80 \% $ schon nach $t=0.1s$ eine Dämpfung auf $0,9^{10} \approx 10 \% $ der Ausgangsleistung. Außerdem vermuten wir, dass die Erkennung des Anstiegs des Schallpegels über einen Treshhold nicht von der Relflexion beeinflusst wird, bzw. im Aufschlag des Besen der ersten Schallpeak in jeder Messung deutlich abgefallen ist.
+Wir erhalten für den Besen mit $r_B \approx 0.011 m$ und und $l_{Besen} = 1,30 m$ und dem Eisenstab mir $r_E = 0.004 m$ und $l_{Besen} = 1,02 m$ für $T = 0,5s$ also
-Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner.
+$ F_{R, Besen} \approx ½ r l (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,030 N \\ F_{R, Eisen} \approx 0,005 N $
-Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren.
+Verglichen mit der Gravitation sind wir also um mindestens zwei Größenordnungen kleiner, selbst wenn die effektive Gravitation $g_{eff} \leq 9.81$ etwas kleiner als der Ortsfaktor durch durch den $\sin{\phi}$ ist. Wir betrachten den Einfluss der Luftreibung zumindest für die im Versuch verwendeten Geometrien als irrelevant.
-Außerdem ist im Moment des Loslassens ein zusätzliches Anschubsen nicht auszuschließen.
+Wir betrachten noch einmal das Anhängen eines Blatt Papiers an den Besen. Für eine lange Rechteckplatte erhalten wir hier $c_w = 2$. Wir haben $A_{Papier} = 0,02\ m^2$ gegeben. Damit errechnet sich mit
-====== Diese Seiten ======
+$F_{R, Papier} \approx  ½ A c_w (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,08 N$
-Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung
-des Heim-Versuchs "Kippender Besenstiel". Er soll die Funktion übernehmen, die
-im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was
-Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen.
-Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form
+für den Besenstiel ein Gesamtwert von $F \approx F_{R, Besen} + F_{R, Papier} \approx 0,11 N$, was theoretisch einen kleinen Einfluss auf die Fallzeit haben könnte.
-und Formatierung sind dabei zweitrangig.
+====== Computerprogramm ======
-Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen
+===== Numerisches Verfahren =====
-Zugriffsrechten ausgestattet:
+==== 1 Bestimmung der Fallzeit ====
-  - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite.
-  - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar.
-Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt "Diskussion". Über diesen Abschnitt
-findet die Kommunikation mit Ihrem Tutor statt. Sie oder er wird Ihnen dort
-Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben.
-Hier im Wiki gibt es [[:vorlage-versuchsbericht:start|Hinweise für die
+<code python [enable_line_numbers="true"] numerical.py >
-Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie
+import numpy
-dann im Ilias ab.
+import matplotlib.pyplot as plt
-<note>Alles, was beim ersten Aufruf auf der Seite zu lesen ist, soll Ihnen
-den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre
-eigenen inhalte ersetzen. </note>
-===== Computerprogramm =====
+def evaluate(length, phi0, timestep):  # length in m, phi0 in rad, timestep in s
-Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung <nowiki><code></nowiki>. Wenn Sie dieser Umgebung mitteilen, in welcher Sprache das Programm geschrieben wurde wird die Syntax automatisch farbig hervorgehoben. ([[doku>de:wiki:syntax#syntax-hervorhebung|Dokumentation dazu]]) ((Die Liste der Programmiersprachen in der deutschsprachigen Dokumentation ist bei weitem nicht vollständig. Siehe die [[doku>wiki:syntax#syntax_highlighting|englische Variante]]))
+    tau_quadrat = ((2 * length) / (3 * 9.81))
+    phi = phi0
+    v_phi = 0
+    time = 0
+    while phi < numpy.pi / 2:
+        a_phi = numpy.sin(phi) / tau_quadrat
+        v_phi += timestep * a_phi
+        phi += timestep * v_phi
+        time += timestep
+    return time
-Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig.
-Beispiel:
+# testing the evaluation
-<code><code c [enable_line_numbers="true"] hello-besenstiel-world.c >
+prec_test = 0.01
-#include <stdio.h>
+phi0s_test = [0 + prec_test * i for i in range(1, round(2 * numpy.pi / prec_test) + 1)]
-int main()
+sols_test = [evaluate(1.45, phi0, 0.01) for phi0 in phi0s_test]
-{
+plt.plot(phi0s_test, sols_test, label='test', ls='', marker='.')
-   printf("Hello, World!");
+plt.legend()
-   return 0;
+plt.show()
-}
+print('Wir lesen aus dem Grafen ab: 0.81\nSelbst gerechneter Wert:', evaluate(1.45, 0.25, 0.01))
-</code>
-wird dargestellt als
-<code c [enable_line_numbers="true"] hello-besenstiel-world.c >
-#include <stdio.h>
-int main()
-{
-   printf("Hello, World!");
-   return 0;
-}
-</code>
-===== Bilder einbinden =====
-Ihr Versuchsaufbau sollte so beschrieben sein, dass er für sich stehend verständlich ist - gerne mit einem Foto.
-Ein Bild laden Sie ins Wiki, indem Sie im Editor in der Knopfleiste auf den kleinen Bildrahmen klicken. In einem neuen Fenster öffnet sich ein Dialog mit einem Dateibaum. Dort navigieren Sie zu "Ihrer" Baustelle (a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe308). Anschließend nutzen Sie den Dialog auf der rechten Seite, um Ihr Bild hochzuladen. Mit einem Klick auf die Zeile ihres Bildes erzeugen Sie im Hauptfenster einen Befehl, der das Bild lädt.
+def find_sol(length, phi0, prec):  # length in m, phi0 in rad, prec is the number of decimal places
+    prev = None
+    for i in range(10):
+        sol = evaluate(length, phi0, 0.1 ** i)
+        if prev and abs(sol - prev) < 0.5 * 0.1 ** prec:
+            break
+        prev = sol
+    return sol
-Im einfachsten Fall landet ein Bild direkt an der Stelle im Text, an der Sie es eingefügt haben (Siehe [[doku>de:wiki:syntax#bilder_und_andere_dateien]]. [[wiki:advanced_user_hints#images_and_movies|Hier]] gibt es einen Überblick, was sonst noch möglich ist.
-===== Tabellen =====
+def find_sols(lengths, phi0s, prec):
-Für eine Tabelle mit Ihren Messwerten gibt es im oben im Editfenster des Wikis eine Hilfsfunktion. Sie versteckt sich hinter einem Knopf der so aussieht, wie ein hellblauer Taschenrechner.
+    sols = {}
+    for length in lengths:
+        phi_sols = []
+        for phi0 in phi0s:
+            phi_sols += [find_sol(length, phi0, prec)]
+        sols[length] = [phi0s, phi_sols]
+    return sols
+</code>
+==== 2 Beschleunigung des Endes ====
-===== Syntax und Funktionen im Wiki =====
+Die Winkelbeschleunigung beträgt $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2 \cdot l} $. Dann beträgt die Beschleunigung am Ende des Stabes $ a = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2} $. Diese ist senkrecht zu dem Stab ausgerichtet, aber uns interessiert der Anteil senkrecht zum Boden, also $ a_z = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)^2}{2} $. Diese Beschleunigung ist g genau dann, wenn $ 1 = \frac{3 \cdot sin(\phi)^2}{2} \Leftrightarrow \phi = arcsin(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 0.955 = 54.7^° $
-Hier noch Links zu
-  * den [[doku>de:wiki:syntax|Grundbefehlen von Dokuwiki]],
-  * [[:wiki:apwiki_features|lokal installierten Erweiterungen]] und
-  * [[:wiki:advanced_user_hints|noch mehr lokal installierte Erweiterungen]]

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