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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [22 January 2021 15:11] – [Table] viktorlaua_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [ 2 February 2021 11:32] (current) – [Verschiedene Formen] alexandersteding
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 Die Anfangsbedingungen sind folglich  $\phi(t=0)=\phi_{0}$ und $\frac{d\phi(t=0)}{dt}=0$. Die Anfangsbedingungen sind folglich  $\phi(t=0)=\phi_{0}$ und $\frac{d\phi(t=0)}{dt}=0$.
 ===== Einheiten der Messgrößen  ===== ===== Einheiten der Messgrößen  =====
 +Das Drehmoment wird in Nm (in SI-Einheiten $\frac{kgm^2}{s^2}$) gemessen.\\ 
 +Der Winkel $\phi$ wird in Radianten (rad) gemessen.\\ 
 +Die Winkelrichtgröße $D_R$ kann durch $-\frac{D}{\phi}$ ausgedrückt werden und hat demensprechend die Einheit $\frac{Nm}{rad}$.\\ 
 +Das Trägheitsmoment I hat die Einheit $kgm^2$ und kann gemessen oder mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.
 ===== Beweis der Kreisfrequenz   ===== ===== Beweis der Kreisfrequenz   =====
 Es gilt  Es gilt 
Line 101: Line 104:
  
 ===== Arbeit und Rotationsenergie  ===== ===== Arbeit und Rotationsenergie  =====
 +Die Arbeit wird bei Drehbewegungen folgendermaßen beschrieben:
 +\begin{equation}
 +W_{rot}=D\cdot \phi
 +\end{equation}
 +Demensprechend ist die Änderung der Arbeit:
 +\begin{equation}
 +\frac{dW_{rot}}{dt}=D\cdot \frac{d\phi}{dt}=D\cdot \omega
 +\end{equation}
 +Die Bewegungsenergie wird bei Kreisbewegungen in Translations- und Rotationsenergie aufgespalten. Erstere kommt bei gleitenden Bewegungen vor und entspricht der bekannten kinetischen Energie. Letztere kommt bei rollenden Bewegunden zum Tragen und lautet:
 +\begin{equation}
 +E_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2
 +\end{equation}
 +Die Änderung der Rotationsenergie entspricht:
 +\begin{equation}
 +E_{rot}=\frac{1}{2}I\alpha^2
 +\end{equation}
 +wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. 
 +Außerdem wissen wir bereits, dass gilt:
 +\begin{equation}
 +\frac{dL}{dt}=D
 +\end{equation}
 +Schreiben wir den Drehimpuls aus, erhalten wir:
 +\begin{equation}
 +I\frac{d\omega}{dt}=D
 +\end{equation}
 +Aus Gleichung 1 wissen wir zudem:
 +\begin{equation}
 +D=-D_R\phi
 +\end{equation}
 +Setzen wir beide Terme gleich und berücksichtigen, dass $\omega$ die Ableitung von $\phi$ ist, erhalten wir die gesuchte Gleichung:
 +\begin{equation}
 +I\frac{d^2\phi}{dt^2}=-D_R\phi
 +\end{equation}
 ===== Der Steinersche Satz ===== ===== Der Steinersche Satz =====
 +Der Steinersche Satz sagt aus, wie sich das Trägheitsmoment eines Körpers der Masse M im Abstand d von seiner Hauptträgheitsachse ändert. Mathematisch ausgedrückt lautet er: 
 +\begin{equation} 
 +I_p=I_s+Md^2 
 +\end{equation} 
 +wobei $I_p$ das Trägheitsmoment bei der parallel verschobenen Trägheitsachse und $I_s$ das Trägheitsmoment der Hauptträgheitsachse ist. 
 +Die Hauptaussage des Satzes ist, dass sich das Trägheitsmoment bei Entfernung von der Hauptträgheitsachse quadratisch zum Abstand von ihr ändert. 
 +Der Beweis des Steinerschen Satzes kann experimentell mithilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels erbracht werden.
 ====== Versuchsdurchführung ====== ====== Versuchsdurchführung ======
 Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert. Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert.
Line 139: Line 181:
  
 ==== Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes ===== ==== Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes =====
-In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweielige hin und herrschwingen gemessen wurde. Es wurden jeweils 4 mal die Zeit für 5 Schwingungen gemessen und daraus die einzelne Schwingugnsdauer bestimmt. Als Reaktionszeit wurde $0,28 S\pm 0,06s$ angenommen(s. Schrecksekunde)+In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweilige Hin und Herschwingen gemessen wurde. Es wurden jeweils 4 mal die Zeit für 5 Schwingungen gemessen und daraus die einzelne Schwingugnsdauer bestimmt. Als Reaktionszeit wurde $0,28 S\pm 0,06s$ angenommen(s. Schrecksekunde)
 Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf: Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf:
  
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:poly.mp4 |}} +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:poly2.mp4 |}}
  
 ==== Versuch 2- Trägheitsmoment ===== ==== Versuch 2- Trägheitsmoment =====
Line 153: Line 194:
 Die Thermoskanne besitzt die Masse Die Thermoskanne besitzt die Masse
 \begin{equation} \begin{equation}
-m_{thermoskanne}=0,0320kg \pm 0,0005kg+m_{thermoskanne}=0,2740kg \pm 0,0005kg
 \end{equation} \end{equation}
 Als weitere Form wurde der Kopf eines Pürierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen. Als weitere Form wurde der Kopf eines Pürierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen.
Line 161: Line 202:
 Der Pürierstab besitzt die Masse Der Pürierstab besitzt die Masse
 \begin{equation} \begin{equation}
-m_{Pürierstab}=0,0320kg \pm 0,0005kg+m_{Pürierstab}=0,1540kg \pm 0,0005kg
 \end{equation} \end{equation}
 ===== Gefüllte Christbaumkugeln ===== ===== Gefüllte Christbaumkugeln =====
Line 171: Line 212:
 ===== Versuch 1===== ===== Versuch 1=====
 ==== Ein Draht verschiedene Längen==== ==== Ein Draht verschiedene Längen====
-=== Draht mit Länge l= 0,0500m ±0,0005m=== 
-^  Messung        ^                                                                                  Draht mit Länge l= 0,0500m ±0,0005m ||| 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für eine Schwingung [s]  | 
-| 1               | 17,25                                | 16,97                                              | 3,394                      | 
-| 2               | 17,36                                | 17,08                                              | 3,416                      | 
-| 3               | 17,26                                | 16,98                                              | 3,396                      | 
-| 4               | 16,68                                | 16,4                                               | 3,28                       | 
-|                                                                                                           |||                            | 
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 3,37                       | 
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,03                       | 
  
  
-=== Draht mit Länge l= 0,1600m ±0,0005m=== 
  
 +=== Draht mit Länge l= 0,160m ±0,005m===
  
  
  
-^  Messung        ^                                                                                Draht mit Länge l= 0,1600m ±0,0005m ||| 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | 
-| 1               | 26,75                                | 26,47                                             | 5,294                     | 
-| 2               | 26,31                                | 26,03                                             | 5,206                     | 
-| 3               | 26,35                                | 26,07                                             | 5,214                     | 
-| 4               | 26,44                                | 26,16                                             | 5,232                     | 
-|                                                                                                          |||                           | 
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 5,237                     | 
-^ Standardfehler  |                                                                                         || 0,020                     | 
  
-=== Draht mit Länge l= 0,2300m ±0,0005m===+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,160m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 26,75                              | 5,35                       | 
 +| 2               | 26,31                              | 5,262                      | 
 +| 3               | 26,35                              | 5,27                       | 
 +| 4               | 26,44                              | 5,288                      | 
 +|                                                                                 ||| 
 +^ Mittelwert      |                                    | 5,293                      | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,020                      |
  
 +=== Draht mit Länge l= 0,230m ±0,005m===
  
  
  
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,2300m ±0,0005m ||| 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | 
-| 1               | 32,22                                | 31,94                                              | 6,388                     | 
-| 2               | 32,13                                | 31,85                                              | 6,37                      | 
-| 3               | 31,93                                | 31,65                                              | 6,33                      | 
-| 4               | 32,09                                | 31,81                                              | 6,362                     | 
-|                                                                                                           |||                           | 
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 6,363                     | 
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,012                     | 
  
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,230m ±0,005m ||
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
 +| 1               | 32,22                              | 6,444                      |
 +| 2               | 32,13                              | 6,426                      |
 +| 3               | 31,93                              | 6,386                      |
 +| 4               | 32,09                              | 6,418                      |
 +|                                                                                 |||
 +^ Mittelwert      |                                    | 6,419                      |
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,012                      |
  
-=== Draht mit Länge l= 0,2700m ±0,0005m=== 
  
 +=== Draht mit Länge l= 0,270m ±0,005m===
  
  
  
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,2700m ±0,0005m ||| + 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,270m ±0,005m || 
-| 1               | 35,32                                | 35,04                                              | 7,008                     | +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
-| 2               | 34,53                                | 34,25                                              | 6,85                      | +| 1               | 35,32                              | 7,064                      | 
-| 3               | 34,81                                | 34,53                                              | 6,906                     | +| 2               | 34,53                              | 6,906                      | 
-| 4               | 34,5                                 | 34,22                                              | 6,844                     | +| 3               | 34,81                              | 6,962                      | 
-|                                                                                                           |||                           | +| 4               | 34,5                               | 6,9                        | 
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 6,90                      | +|                                                                                 ||| 
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,04                      |+^ Mittelwert      |                                    | 6,96                       | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,04                       | 
 + 
 + 
 +== Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m=== 
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 40,33                              | 8,066                      | 
 +| 2               | 40,54                              | 8,108                      | 
 +| 3               | 40,45                              | 8,09                       | 
 +| 4               | 40,1                               | 8,02                       | 
 +|                                                                                 ||| 
 +^ Mittelwert      |                                    | 8,071                      | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,019                      | 
 + 
 +== Draht mit Länge l= 0,430m ±0,005m=== 
 + 
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge L= 0,430m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 41,27                              | 8,254                      | 
 +| 2               | 40,58                              | 8,116                      | 
 +| 3               | 40,95                              | 8,19                       | 
 +| 4               | 41,09                              | 8,218                      | 
 +|                                                                                 ||| 
 +^ Mittelwert      |                                    | 8,195                      | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,029                      |
  
 ==== Verschiedene  Aufhängungen==== ==== Verschiedene  Aufhängungen====
-=== Dünner Draht=== +=== Dicker Draht (r=0,25mm)=== 
-== Draht mit Länge l= 0,1200m ±0,0005m=== +=== Draht mit Länge l= 0,150m ±0,005m=== 
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,1200m ±0,0005m ||| +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,150m ±0,005m || 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
-| 1               | 39,14                                | 38,86                                              | 7,772                     | +| 1               | 15,13                              | 3,026                      | 
-| 2               | 39,18                                | 38,9                                               | 7,78                      | +| 2               | 15,52                              | 3,104                      | 
-| 3               | 39,14                                | 38,86                                              | 7,772                     | +| 3               | 15,55                              | 3,11                       | 
-| 4               | 39,11                                | 38,83                                              | 7,766                     | +| 4               | 15,44                              | 3,088                      | 
-|                                                                                                           |||                           | +|                                                                                 ||| 
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 7,7725                    | +^ Mittelwert      |                                    | 3,082                      | 
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,0029                    | +^ Standardfehler  |                                    | 0,019                      |
-== Draht mit Länge l= 0,3500m ±0,0005m=== +
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,3500m ±0,0005m ||| +
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | +
-| 1               | 40,33                                | 40,05                                              | 8,01                      | +
-| 2               | 40,54                                | 40,26                                              | 8,052                     | +
-| 3               | 40,45                                | 40,17                                              | 8,034                     | +
-| 4               | 40,1                                 | 39,82                                              | 7,964                     | +
-|                                                                                                           |||                           | +
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 8,015                     | +
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,019                     |+
  
-== Draht mit Länge l= 0,4300m ±0,0005m===+=== Draht mit Länge l= 0,250m ±0,005m=== 
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,250m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 17,25                              | 3,45                       | 
 +| 2               | 17,36                              | 3,472                      | 
 +| 3               | 17,26                              | 3,452                      | 
 +| 4               | 16,68                              | 3,336                      | 
 +|                                                                                 ||| 
 +^ Mittelwert      |                                    | 3,43                       | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,03                       |
  
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,4300m ±0,0005m ||| +=== Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m=== 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m || 
-| 1               | 41,27                                | 40,99                                              | 8,198                     | +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
-| 2               | 40,58                                | 40,3                                               | 8,06                      | +| 1               | 18,56                              | 3,712                      | 
-| 3               | 40,95                                | 40,67                                              | 8,134                     | +| 2               | 18,79                              | 3,758                      | 
-| 4               | 41,09                                | 40,81                                              | 8,162                     | +| 3               | 18,48                              | 3,696                      | 
-|                                                                                                           |||                           | +| 4               | 18,02                              | 3,604                      | 
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 8,139                     | +|                                                                                 ||| 
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,029                     |+^ Mittelwert      |                                    | 3,69                       | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,03                       | 
 +=== Seil === 
 +=== Seil mit Länge l= 0,110m ±0,005m=== 
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,110m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 71,55                              | 14,31                      | 
 +| 2               | 71,48                              | 14,296                     | 
 +| 3               | 70,68                              | 14,136                     | 
 +|                 |                                    |                            | 
 +^ Mittelwert      |                                    | 14,25                      | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,06                       | 
 + 
 +=== Seil mit Länge l= 0,190m ±0,005m=== 
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,110m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 80,06                              | 16,012                     | 
 +| 2               | 80,56                              | 16,112                     | 
 +| 3               | 85,33                              | 17,066                     | 
 +|                 |                                    |                            | 
 +^ Mittelwert      |                                    | 16,4                       | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,3                        | 
 +=== Seil mit Länge l= 0,450m ±0,005m=== 
 +^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,110m ±0,005m || 
 +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
 +| 1               | 104,3                              | 20,86                      | 
 +| 2               | 117,8                              | 23,56                      | 
 +| 3               | 116,97                             | 23,394                     | 
 +|                 |                                    |                            | 
 +^ Mittelwert      |                                    | 22,6                       | 
 +^ Standardfehler  |                                    | 0,9                        |
 ===== Versuch 2===== ===== Versuch 2=====
 === Thermoskanne=== === Thermoskanne===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,120m ±0,0005m ||| +^  Messung        ^                              Draht mit Länge L= 0,120m ±0,005m || 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]            | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
-| 1               | 32,29                               | 32,01                                              | 6,402                     | +| 1               | 32,29                              | 6,458                      | 
-| 2               | 31,72                               | 31,44                                              | 6,288                     | +| 2               | 31,72                              | 6,344                      | 
-| 3               | 32,034                              | 31,754                                             | 6,3508                    | +| 3               | 32,034                             | 6,4068                     | 
-| 4               | 32,09                               | 31,81                                              | 6,362                     | +| 4               | 32,09                              | 6,418                      | 
-|                                                                                                          |||                           | +|                                                                                 ||| 
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 6,351                     | +^ Mittelwert      |                                    | 6,407                      | 
-^ Standardfehler  |                                     |                                                    | 0,024                     |+^ Standardfehler  |                                    | 0,024                      |
  
 === Pürierstabkopf=== === Pürierstabkopf===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,120m ±0,0005m ||| +^  Messung        ^                              Draht mit Länge L= 0,120m ±0,005m || 
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]            | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  | +|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  | 
-| 1               | 30,86                               | 30,58                                              | 6,116                     | +| 1               | 30,86                              | 6,172                      | 
-| 2               | 30,54                               | 30,26                                              | 6,052                     | +| 2               | 30,54                              | 6,108                      | 
-| 3               | 30,08                               | 29,8                                               | 5,96                      | +| 3               | 30,08                              | 6,016                      | 
-| 4               | 29,72                               | 29,44                                              | 5,888                     | +| 4               | 29,72                              | 5,944                      | 
-|                                                                                                          |||                           | +|                                                                                 ||| 
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 6,00                      | +^ Mittelwert      |                                    | 6,06                       | 
-^ Standardfehler  |                                     |                                                    | 0,05                      |+^ Standardfehler  |                                    | 0,05                       | 
  
  
  
  
-====Schrecksekunde==== 
-^  Messung        ^                                Zielzeit= 5s || 
-|                 | Gemessene Zeit  | Zielzeit - gemessene Zeit  | 
-| 1               | 5,23            | 0,23                       | 
-| 2               | 5,45            | 0,45                       | 
-| 3               | 5,15            | 0,15                       | 
-| 4               | 5,08            | 0,08                       | 
-| 5               | 4,97            | -0,03                      | 
-| 6               | 5,28            | 0,28                       | 
-| 7               | 5,44            | 0,44                       | 
-| 8               | 5,51            | 0,51                       | 
-| 9               | 5,37            | 0,37                       | 
-|                                                              ||| 
-^ Mittelwert      |                 | 0,28                       | 
-^ Standardfehler  |                 | 0,06                       |