Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [22 January 2021 12:37] – [Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes] alexandersteding
+++ a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [ 2 February 2021 11:32] (current) – [Verschiedene Formen] alexandersteding
@@ Line 65: / Line 65: @@
 Die Anfangsbedingungen sind folglich  $\phi(t=0)=\phi_{0}$ und $\frac{d\phi(t=0)}{dt}=0$.
 ===== Einheiten der Messgrößen  =====
+Das Drehmoment wird in Nm (in SI-Einheiten $\frac{kgm^2}{s^2}$) gemessen.\\
+Der Winkel $\phi$ wird in Radianten (rad) gemessen.\\
+Die Winkelrichtgröße $D_R$ kann durch $-\frac{D}{\phi}$ ausgedrückt werden und hat demensprechend die Einheit $\frac{Nm}{rad}$.\\
+Das Trägheitsmoment I hat die Einheit $kgm^2$ und kann gemessen oder mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.
 ===== Beweis der Kreisfrequenz   =====
 Es gilt
@@ Line 101: / Line 104: @@
 ===== Arbeit und Rotationsenergie  =====
+Die Arbeit wird bei Drehbewegungen folgendermaßen beschrieben:
+\begin{equation}
+W_{rot}=D\cdot \phi
+\end{equation}
+Demensprechend ist die Änderung der Arbeit:
+\begin{equation}
+\frac{dW_{rot}}{dt}=D\cdot \frac{d\phi}{dt}=D\cdot \omega
+\end{equation}
+Die Bewegungsenergie wird bei Kreisbewegungen in Translations- und Rotationsenergie aufgespalten. Erstere kommt bei gleitenden Bewegungen vor und entspricht der bekannten kinetischen Energie. Letztere kommt bei rollenden Bewegunden zum Tragen und lautet:
+\begin{equation}
+E_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2
+\end{equation}
+Die Änderung der Rotationsenergie entspricht:
+\begin{equation}
+E_{rot}=\frac{1}{2}I\alpha^2
+\end{equation}
+wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt.
+Außerdem wissen wir bereits, dass gilt:
+\begin{equation}
+\frac{dL}{dt}=D
+\end{equation}
+Schreiben wir den Drehimpuls aus, erhalten wir:
+\begin{equation}
+I\frac{d\omega}{dt}=D
+\end{equation}
+Aus Gleichung 1 wissen wir zudem:
+\begin{equation}
+D=-D_R\phi
+\end{equation}
+Setzen wir beide Terme gleich und berücksichtigen, dass $\omega$ die Ableitung von $\phi$ ist, erhalten wir die gesuchte Gleichung:
+\begin{equation}
+I\frac{d^2\phi}{dt^2}=-D_R\phi
+\end{equation}
 ===== Der Steinersche Satz =====
+Der Steinersche Satz sagt aus, wie sich das Trägheitsmoment eines Körpers der Masse M im Abstand d von seiner Hauptträgheitsachse ändert. Mathematisch ausgedrückt lautet er:
+\begin{equation}
+I_p=I_s+Md^2
+\end{equation}
+wobei $I_p$ das Trägheitsmoment bei der parallel verschobenen Trägheitsachse und $I_s$ das Trägheitsmoment der Hauptträgheitsachse ist.
+Die Hauptaussage des Satzes ist, dass sich das Trägheitsmoment bei Entfernung von der Hauptträgheitsachse quadratisch zum Abstand von ihr ändert.
+Der Beweis des Steinerschen Satzes kann experimentell mithilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels erbracht werden.
 ====== Versuchsdurchführung ======
 Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert.
@@ Line 129: / Line 171: @@
 m_{rolle}=0,0320kg \pm 0,0005kg
 \end{equation}
-Bei der Masse war die kleinste messbare größe 1g, damit erhältt man die Unsicherheit 0,5g.
+Bei der Masse war die kleinste messbare größe 1g, damit erhält man die Unsicherheit 0,5g.
+==== Die Schrecksekunde =====
+Da anders als bei dem Versuch "Kippender Besenstiel" nicht mit einer akustischen Stoppuhr gemessen wurde, muss die Reaktionszeit als möglicher Fehler mit betrachtet werden. Um die Schrecksekunde zu ermitteln wurde mit einer Stoppuhr probiert exakt 5s zu messen. Die  mittlere Abweichungen vom  Idealwert(5s) gibt dann die Schrecksekunde an.
+Im Bereich Messwerte, wurden die gemessenen Werte der Schrecksunde dargestellt. Man erhält für die Schrecksekunde:
+\begin{equation}
+    t_{Schreck}= 0,28s\pm 0,06s
+\end{equation}
 ==== Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes =====
-In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweielige hin und herrschwingen gemessen wurde. Es wurden jeweils 4 mal die Zeit für 5 Schwingungen gemessen und daraus die einzelne Schwingugnsdauer bestimmt.Da ander als bei dem Versuch "Kippender Besenstiel" nicht mit einer akustischen Stoppuhr gemessen wurde, muss die Reaktionszeit als möglicher Fehler mit betrachtet werden. Als Reaktionszeit wurde $0,28 S\pm 0,06s$ angenommen(s. Schrecksekunde)
+In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweilige Hin und Herschwingen gemessen wurde. Es wurden jeweils 4 mal die Zeit für 5 Schwingungen gemessen und daraus die einzelne Schwingugnsdauer bestimmt. Als Reaktionszeit wurde $0,28 S\pm 0,06s$ angenommen(s. Schrecksekunde)
 Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf:
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:20210120_122134.mp4 |}}
+{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:poly2.mp4 |}}
 ==== Versuch 2- Trägheitsmoment =====
 Da nun das Torsionsmodul bekannt ist, kann das Trägheitsmoment über die gemessenen Schwingungsdauern berechnet werden. Dazu wird der Versuchsablauf aus Versuch 1 mit verschiedenen Formen wiederholt.
 ===== Verschiedene Formen =====
-Für diesen Versuch wurde zunächst eine Thermoskanne gewähtl. Diese entspricht nähreungsweise einem Hohlzylinder, hat aber einige zusätzliche Rundungen und ist daher geometrisch nicht ganz einfach zu beschreiben.
+Für diesen Versuch wurde zunächst eine Thermoskanne gewählt. Diese entspricht näherungsweise einem Hohlzylinder, hat aber einige zusätzliche Rundungen und ist daher geometrisch nicht ganz einfach zu beschreiben.
 {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:20210121_173805.jpg?400 |}}
 Die Thermoskanne besitzt die Masse
 \begin{equation}
-m_{thermoskanne}=0,0320kg \pm 0,0005kg
+m_{thermoskanne}=0,2740kg \pm 0,0005kg
 \end{equation}
-Als weitere Form wurde der Kopf eines Pyrierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner Grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen.
+Als weitere Form wurde der Kopf eines Pürierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen.
 {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:20210121_173749.jpg?400 |}}
-Der Pyrierstab besitzt die Masse
+Der Pürierstab besitzt die Masse
 \begin{equation}
-m_{Pyrierstab}=0,0320kg \pm 0,0005kg
+m_{Pürierstab}=0,1540kg \pm 0,0005kg
 \end{equation}
 ===== Gefüllte Christbaumkugeln =====
@@ Line 163: / Line 212: @@
 ===== Versuch 1=====
 ==== Ein Draht verschiedene Längen====
-=== Draht mit Länge l= 0,0500m ±0,0005m===
-^  Messung        ^                                                                                Draht mit Länge l= 0,0500m ±0,0005m |||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
-| 1               | 17,25                                | 16,97                                             | 3,394                     |
-| 2               | 17,36                                | 17,08                                             | 3,416                     |
-| 3               | 17,26                                | 16,98                                             | 3,396                     |
-| 4               | 16,68                                | 16,4                                              | 3,28                      |
-|                                                                                                          |||                           |
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 3,37                      |
-^ Standardfehler  |                                                                                         || 0,03                      |
-=== Draht mit Länge l= 0,1600m ±0,0005m===
+=== Draht mit Länge l= 0,160m ±0,005m===
-^  Messung        ^                                                                                Draht mit Länge l= 0,1600m ±0,0005m |||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
-| 1               | 26,75                                | 26,47                                             | 5,294                     |
-| 2               | 26,31                                | 26,03                                             | 5,206                     |
-| 3               | 26,35                                | 26,07                                             | 5,214                     |
-| 4               | 26,44                                | 26,16                                             | 5,232                     |
-|                                                                                                          |||                           |
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 5,237                     |
-^ Standardfehler  |                                                                                         || 0,020                     |
-=== Draht mit Länge l= 0,2300m ±0,0005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,160m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 26,75                              | 5,35                       |
+| 2               | 26,31                              | 5,262                      |
+| 3               | 26,35                              | 5,27                       |
+| 4               | 26,44                              | 5,288                      |
+|                                                                                 |||
+^ Mittelwert      |                                    | 5,293                      |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,020                      |
+=== Draht mit Länge l= 0,230m ±0,005m===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,2300m ±0,0005m |||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
-| 1               | 32,22                                | 31,94                                              | 6,388                     |
-| 2               | 32,13                                | 31,85                                              | 6,37                      |
-| 3               | 31,93                                | 31,65                                              | 6,33                      |
-| 4               | 32,09                                | 31,81                                              | 6,362                     |
-|                                                                                                           |||                           |
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 6,363                     |
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,012                     |
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,230m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 32,22                              | 6,444                      |
+| 2               | 32,13                              | 6,426                      |
+| 3               | 31,93                              | 6,386                      |
+| 4               | 32,09                              | 6,418                      |
+|                                                                                 |||
+^ Mittelwert      |                                    | 6,419                      |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,012                      |
-=== Draht mit Länge l= 0,2700m ±0,0005m===
+=== Draht mit Länge l= 0,270m ±0,005m===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,2700m ±0,0005m |||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,270m ±0,005m ||
-| 1               | 35,32                                | 35,04                                              | 7,008                     |
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
-| 2               | 34,53                                | 34,25                                              | 6,85                      |
+| 1               | 35,32                              | 7,064                      |
-| 3               | 34,81                                | 34,53                                              | 6,906                     |
+| 2               | 34,53                              | 6,906                      |
-| 4               | 34,5                                 | 34,22                                              | 6,844                     |
+| 3               | 34,81                              | 6,962                      |
-|                                                                                                           |||                           |
+| 4               | 34,5                               | 6,9                        |
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 6,90                      |
+|                                                                                 |||
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,04                      |
+^ Mittelwert      |                                    | 6,96                       |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,04                       |
+== Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 40,33                              | 8,066                      |
+| 2               | 40,54                              | 8,108                      |
+| 3               | 40,45                              | 8,09                       |
+| 4               | 40,1                               | 8,02                       |
+|                                                                                 |||
+^ Mittelwert      |                                    | 8,071                      |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,019                      |
+== Draht mit Länge l= 0,430m ±0,005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge L= 0,430m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 41,27                              | 8,254                      |
+| 2               | 40,58                              | 8,116                      |
+| 3               | 40,95                              | 8,19                       |
+| 4               | 41,09                              | 8,218                      |
+|                                                                                 |||
+^ Mittelwert      |                                    | 8,195                      |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,029                      |
 ==== Verschiedene  Aufhängungen====
-=== Dünner Draht===
+=== Dicker Draht (r=0,25mm)===
-== Draht mit Länge l= 0,1200m ±0,0005m===
+=== Draht mit Länge l= 0,150m ±0,005m===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,1200m ±0,0005m |||
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,150m ±0,005m ||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
-| 1               | 39,14                                | 38,86                                              | 7,772                     |
+| 1               | 15,13                              | 3,026                      |
-| 2               | 39,18                                | 38,9                                               | 7,78                      |
+| 2               | 15,52                              | 3,104                      |
-| 3               | 39,14                                | 38,86                                              | 7,772                     |
+| 3               | 15,55                              | 3,11                       |
-| 4               | 39,11                                | 38,83                                              | 7,766                     |
+| 4               | 15,44                              | 3,088                      |
-|                                                                                                           |||                           |
+|                                                                                 |||
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 7,7725                    |
+^ Mittelwert      |                                    | 3,082                      |
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,0029                    |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,019                      |
-== Draht mit Länge l= 0,3500m ±0,0005m===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,3500m ±0,0005m |||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
-| 1               | 40,33                                | 40,05                                              | 8,01                      |
-| 2               | 40,54                                | 40,26                                              | 8,052                     |
-| 3               | 40,45                                | 40,17                                              | 8,034                     |
-| 4               | 40,1                                 | 39,82                                              | 7,964                     |
-|                                                                                                           |||                           |
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 8,015                     |
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,019                     |
-== Draht mit Länge l= 0,4300m ±0,0005m===
+=== Draht mit Länge l= 0,250m ±0,005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,250m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 17,25                              | 3,45                       |
+| 2               | 17,36                              | 3,472                      |
+| 3               | 17,26                              | 3,452                      |
+| 4               | 16,68                              | 3,336                      |
+|                                                                                 |||
+^ Mittelwert      |                                    | 3,43                       |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,03                       |
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,4300m ±0,0005m |||
+=== Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m===
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]             | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m ||
-| 1               | 41,27                                | 40,99                                              | 8,198                     |
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
-| 2               | 40,58                                | 40,3                                               | 8,06                      |
+| 1               | 18,56                              | 3,712                      |
-| 3               | 40,95                                | 40,67                                              | 8,134                     |
+| 2               | 18,79                              | 3,758                      |
-| 4               | 41,09                                | 40,81                                              | 8,162                     |
+| 3               | 18,48                              | 3,696                      |
-|                                                                                                           |||                           |
+| 4               | 18,02                              | 3,604                      |
-^ Mittelwert      |                                                                                          || 8,139                     |
+|                                                                                 |||
-^ Standardfehler  |                                                                                          || 0,029                     |
+^ Mittelwert      |                                    | 3,69                       |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,03                       |
+=== Seil ===
+=== Seil mit Länge l= 0,110m ±0,005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,110m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 71,55                              | 14,31                      |
+| 2               | 71,48                              | 14,296                     |
+| 3               | 70,68                              | 14,136                     |
+|                 |                                    |                            |
+^ Mittelwert      |                                    | 14,25                      |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,06                       |
+=== Seil mit Länge l= 0,190m ±0,005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,110m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 80,06                              | 16,012                     |
+| 2               | 80,56                              | 16,112                     |
+| 3               | 85,33                              | 17,066                     |
+|                 |                                    |                            |
+^ Mittelwert      |                                    | 16,4                       |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,3                        |
+=== Seil mit Länge l= 0,450m ±0,005m===
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge l= 0,110m ±0,005m ||
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
+| 1               | 104,3                              | 20,86                      |
+| 2               | 117,8                              | 23,56                      |
+| 3               | 116,97                             | 23,394                     |
+|                 |                                    |                            |
+^ Mittelwert      |                                    | 22,6                       |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,9                        |
 ===== Versuch 2=====
 === Thermoskanne===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,120m ±0,0005m |||
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge L= 0,120m ±0,005m ||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]            | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
-| 1               | 32,29                               | 32,01                                              | 6,402                     |
+| 1               | 32,29                              | 6,458                      |
-| 2               | 31,72                               | 31,44                                              | 6,288                     |
+| 2               | 31,72                              | 6,344                      |
-| 3               | 32,034                              | 31,754                                             | 6,3508                    |
+| 3               | 32,034                             | 6,4068                     |
-| 4               | 32,09                               | 31,81                                              | 6,362                     |
+| 4               | 32,09                              | 6,418                      |
-|                                                                                                          |||                           |
+|                                                                                 |||
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 6,351                     |
+^ Mittelwert      |                                    | 6,407                      |
-^ Standardfehler  |                                     |                                                    | 0,024                     |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,024                      |
 === Pürierstabkopf===
-^  Messung        ^                                                                                 Draht mit Länge l= 0,120m ±0,0005m |||
+^  Messung        ^                              Draht mit Länge L= 0,120m ±0,005m ||
-|                 | T für  5 Schwingungen[s]            | 5 Schwingungen mit abgezogener Schrecksekunde [s]  | T für ene Schwingung [s]  |
+|                 | T für  5 Schwingungen[s]           | T für eine Schwingung [s]  |
-| 1               | 30,86                               | 30,58                                              | 6,116                     |
+| 1               | 30,86                              | 6,172                      |
-| 2               | 30,54                               | 30,26                                              | 6,052                     |
+| 2               | 30,54                              | 6,108                      |
-| 3               | 30,08                               | 29,8                                               | 5,96                      |
+| 3               | 30,08                              | 6,016                      |
-| 4               | 29,72                               | 29,44                                              | 5,888                     |
+| 4               | 29,72                              | 5,944                      |
-|                                                                                                          |||                           |
+|                                                                                 |||
-^ Mittelwert      |                                                                                         || 6,00                      |
+^ Mittelwert      |                                    | 6,06                       |
-^ Standardfehler  |                                     |                                                    | 0,05                      |
+^ Standardfehler  |                                    | 0,05                       |
-====Schrecksekunde====
-^  Messung        ^                                Zielzeit= 5s ||
-|                 | Gemessene Zeit  | Zielzeit - gemessene Zeit  |
-| 1               | 5,23            | 0,23                       |
-| 2               | 5,45            | 0,45                       |
-| 3               | 5,15            | 0,15                       |
-| 4               | 5,08            | 0,08                       |
-| 5               | 4,97            | -0,03                      |
-| 6               | 5,28            | 0,28                       |
-| 7               | 5,44            | 0,44                       |
-| 8               | 5,51            | 0,51                       |
-| 9               | 5,37            | 0,37                       |
-|                                                              |||
-^ Mittelwert      |                 | 0,28                       |
-^ Standardfehler  |                 | 0,06                       |

Tools

menus and quick search

quick search

site status

Page Tools

meta data for this page

Differences