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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [21 January 2021 14:15] – [Table] alexandersteding | a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [ 2 February 2021 11:32] (current) – [Verschiedene Formen] alexandersteding | ||
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Line 5: | Line 5: | ||
====== Einleitung ====== | ====== Einleitung ====== | ||
- | Auf dieser Wiki Seite werden Messwerte, Versuchsdurchführungen und theoretische Überlegungen zum Versuch | + | Auf dieser Wiki Seite werden Messwerte, Versuchsdurchführungen und theoretische Überlegungen zum Versuch |
====== Theoretische Vorüberlegungen ====== | ====== Theoretische Vorüberlegungen ====== | ||
- | Die Messung des Winkels φ wurde über geometrische Überlegungen gelöst wie in folgender Abbildung verdeutlicht wird. | + | |
===== Berechnen der Schwingungsdauer T aus der Kreisfrequenz | ===== Berechnen der Schwingungsdauer T aus der Kreisfrequenz | ||
Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Schwingungsdauer lautet allgemein: | Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Schwingungsdauer lautet allgemein: | ||
Line 55: | Line 55: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Da $\omega >0$ gilt dementsprechend $A=0$. und für die Schwingungsgleichung: | Da $\omega >0$ gilt dementsprechend $A=0$. und für die Schwingungsgleichung: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die 2fache Zeitliche Ableitung ist enstprechend: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{d^2\phi(t)}{dt^2}=\phi_{0}\omega^2\cdot (-cos(\omega \cdot t)) | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Die Anfangsbedingungen sind folglich | ||
+ | ===== Einheiten der Messgrößen | ||
+ | Das Drehmoment wird in Nm (in SI-Einheiten $\frac{kgm^2}{s^2}$) gemessen.\\ | ||
+ | Der Winkel $\phi$ wird in Radianten (rad) gemessen.\\ | ||
+ | Die Winkelrichtgröße $D_R$ kann durch $-\frac{D}{\phi}$ ausgedrückt werden und hat demensprechend die Einheit $\frac{Nm}{rad}$.\\ | ||
+ | Das Trägheitsmoment I hat die Einheit $kgm^2$ und kann gemessen oder mit dem Steinerschen Satz berechnet werden. | ||
+ | ===== Beweis der Kreisfrequenz | ||
+ | Es gilt | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | ||
Line 74: | Line 90: | ||
\omega= \sqrt{\frac{D_{R}}{I}} | \omega= \sqrt{\frac{D_{R}}{I}} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | Und somit die Lösung: \begin{equation} | + | |
- | \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | + | ===== Experimentelle Bestimmung des Drehmomentes |
+ | Das Drehmoment kann experimentell über den Drehimpuls bestimmt werden. | ||
+ | Es gilt der Zusammenhang: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | D=\frac{dL}{dt} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | mit $\omega= \sqrt{\frac{D_{R}}{I}}$. | + | Das Drehmoment ist also die zeitliche Änderung des Drehimpulses. Der Drehimpuls wiedrum ist definiert als das Produkt zwischen Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit.: |
- | ===== Einheiten | + | \begin{equation} |
- | + | L=I\cdot \omega | |
- | ===== Beweis der Kreisfrequenz | + | \end{equation} |
+ | Die Winkelgeschwindigkeit kann über die Schwingungsdauer berechnet werden. Ist das Trägheitsmoment eines Körpers bekannt kann also das Drehmoment durch Messen | ||
+ | ===== Arbeit und Rotationsenergie | ||
+ | Die Arbeit wird bei Drehbewegungen folgendermaßen beschrieben: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | W_{rot}=D\cdot \phi | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Demensprechend ist die Änderung der Arbeit: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{dW_{rot}}{dt}=D\cdot \frac{d\phi}{dt}=D\cdot \omega | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die Bewegungsenergie wird bei Kreisbewegungen in Translations- und Rotationsenergie aufgespalten. Erstere kommt bei gleitenden Bewegungen vor und entspricht der bekannten kinetischen Energie. Letztere kommt bei rollenden Bewegunden zum Tragen und lautet: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | E_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die Änderung der Rotationsenergie entspricht: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | E_{rot}=\frac{1}{2}I\alpha^2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. | ||
+ | Außerdem wissen wir bereits, dass gilt: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{dL}{dt}=D | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Schreiben wir den Drehimpuls aus, erhalten wir: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I\frac{d\omega}{dt}=D | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Aus Gleichung 1 wissen wir zudem: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | D=-D_R\phi | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Setzen wir beide Terme gleich und berücksichtigen, | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I\frac{d^2\phi}{dt^2}=-D_R\phi | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | ===== Der Steinersche Satz ===== | ||
+ | Der Steinersche Satz sagt aus, wie sich das Trägheitsmoment eines Körpers der Masse M im Abstand d von seiner Hauptträgheitsachse ändert. Mathematisch ausgedrückt lautet er: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I_p=I_s+Md^2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | wobei $I_p$ das Trägheitsmoment bei der parallel verschobenen Trägheitsachse und $I_s$ das Trägheitsmoment der Hauptträgheitsachse ist. | ||
+ | Die Hauptaussage des Satzes ist, dass sich das Trägheitsmoment bei Entfernung von der Hauptträgheitsachse quadratisch zum Abstand von ihr ändert. | ||
+ | Der Beweis des Steinerschen Satzes kann experimentell mithilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels erbracht werden. | ||
====== Versuchsdurchführung ====== | ====== Versuchsdurchführung ====== | ||
Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert. | Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert. | ||
Line 108: | Line 171: | ||
m_{rolle}=0, | m_{rolle}=0, | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | Bei der Masse war die kleinste messbare größe 1g, damit erhältt | + | Bei der Masse war die kleinste messbare größe 1g, damit erhält |
+ | ==== Die Schrecksekunde ===== | ||
+ | Da anders als bei dem Versuch " | ||
+ | Im Bereich Messwerte, wurden die gemessenen Werte der Schrecksunde dargestellt. Man erhält für die Schrecksekunde: | ||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | t_{Schreck}= 0,28s\pm 0,06s | ||
+ | \end{equation} | ||
==== Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes ===== | ==== Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes ===== | ||
- | In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweielige hin und herrschwingen | + | In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweilige Hin und Herschwingen |
Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf: | Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf: | ||
- | {{ : | + | {{ : |
+ | |||
+ | ==== Versuch 2- Trägheitsmoment ===== | ||
+ | Da nun das Torsionsmodul bekannt ist, kann das Trägheitsmoment über die gemessenen Schwingungsdauern berechnet werden. Dazu wird der Versuchsablauf aus Versuch 1 mit verschiedenen Formen wiederholt. | ||
+ | ===== Verschiedene Formen ===== | ||
+ | Für diesen Versuch wurde zunächst eine Thermoskanne gewählt. Diese entspricht näherungsweise einem Hohlzylinder, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | Die Thermoskanne besitzt die Masse | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | m_{thermoskanne}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Als weitere Form wurde der Kopf eines Pürierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Der Pürierstab besitzt die Masse | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | m_{Pürierstab}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | ===== Gefüllte Christbaumkugeln ===== | ||
+ | Gefüllte " | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
====== Messwerte ====== | ====== Messwerte ====== | ||
===== Versuch 1===== | ===== Versuch 1===== | ||
==== Ein Draht verschiedene Längen==== | ==== Ein Draht verschiedene Längen==== | ||
- | === Draht mit Länge l= 0,1000m ±0, | ||
- | ^ Messung | ||
- | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
- | | 1 | 17,25 | 16,97 | 3,394 | | ||
- | | 2 | 17,36 | 17,08 | 3,416 | | ||
- | | 3 | 17,26 | 16,98 | 3,396 | | ||
- | | 4 | 16,68 | 16,4 | 3,28 | | ||
- | | ||| | | ||
- | ^ Mittelwert | ||
- | ^ Standardfehler | ||
- | === Draht mit Länge l= 0,1600m ±0, | ||
+ | === Draht mit Länge l= 0,160m ±0,005m=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 26,75 | 5,35 | | ||
+ | | 2 | 26,31 | 5,262 | | ||
+ | | 3 | 26,35 | 5,27 | | ||
+ | | 4 | 26,44 | 5,288 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,230m ±0,005m=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 32,22 | 6,444 | | ||
+ | | 2 | 32,13 | 6,426 | | ||
+ | | 3 | 31,93 | 6,386 | | ||
+ | | 4 | 32,09 | 6,418 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,270m ±0,005m=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 35,32 | 7,064 | | ||
+ | | 2 | 34,53 | 6,906 | | ||
+ | | 3 | 34,81 | 6,962 | | ||
+ | | 4 | 34,5 | 6,9 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 40,33 | 8,066 | | ||
+ | | 2 | 40,54 | 8,108 | | ||
+ | | 3 | 40,45 | 8,09 | | ||
+ | | 4 | 40,1 | 8,02 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | == Draht mit Länge l= 0,430m ±0,005m=== | ||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 41,27 | 8,254 | | ||
+ | | 2 | 40,58 | 8,116 | | ||
+ | | 3 | 40,95 | 8,19 | | ||
+ | | 4 | 41,09 | 8,218 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | ==== Verschiedene | ||
+ | === Dicker Draht (r=0, | ||
+ | === Draht mit Länge l= 0,150m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 15,13 | 3,026 | | ||
+ | | 2 | 15,52 | 3,104 | | ||
+ | | 3 | 15,55 | 3,11 | | ||
+ | | 4 | 15,44 | 3,088 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,250m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 17,25 | 3,45 | | ||
+ | | 2 | 17,36 | 3,472 | | ||
+ | | 3 | 17,26 | 3,452 | | ||
+ | | 4 | 16,68 | 3,336 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | === Draht mit Länge l= 0,350m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 18,56 | 3,712 | | ||
+ | | 2 | 18,79 | 3,758 | | ||
+ | | 3 | 18,48 | 3,696 | | ||
+ | | 4 | 18,02 | 3,604 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | === Seil === | ||
+ | === Seil mit Länge l= 0,110m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 71,55 | 14,31 | | ||
+ | | 2 | 71,48 | 14, | ||
+ | | 3 | 70,68 | 14, | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | === Seil mit Länge l= 0,190m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 80,06 | 16, | ||
+ | | 2 | 80,56 | 16, | ||
+ | | 3 | 85,33 | 17, | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | === Seil mit Länge l= 0,450m ±0,005m=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 104,3 | 20,86 | | ||
+ | | 2 | 117,8 | 23,56 | | ||
+ | | 3 | 116, | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | ===== Versuch 2===== | ||
+ | === Thermoskanne=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 32,29 | 6,458 | | ||
+ | | 2 | 31,72 | 6,344 | | ||
+ | | 3 | 32, | ||
+ | | 4 | 32,09 | 6,418 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
- | ^ Messung | + | === Pürierstabkopf=== |
- | | | T für 5 Schwingungen[s] | + | ^ Messung |
- | | 1 | + | | | T für 5 Schwingungen[s] |
- | | 2 | + | | 1 |
- | | 3 | + | | 2 |
- | | 4 | + | | 3 |
- | | ||| | | + | | 4 |
- | ^ Mittelwert | + | | |
- | ^ Standardfehler | + | ^ Mittelwert |
+ | ^ Standardfehler | ||
- | === Draht mit Länge l= 0,2300m ±0, | ||
- | ^ Messung | ||
- | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
- | | 1 | 32,22 | 31,94 | 6,388 | | ||
- | | 2 | 32,13 | 31,85 | 6,37 | | ||
- | | 3 | 31,93 | 31,65 | 6,33 | | ||
- | | 4 | 32,09 | 31,81 | 6,362 | | ||
- | | | ||
- | ^ Mittelwert | ||
- | ^ Standardfehler |