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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [19 January 2021 16:59] – [Anfangsbedingungen] alexandersteding | a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe341:start [ 2 February 2021 11:32] (current) – [Verschiedene Formen] alexandersteding | ||
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====== Einleitung ====== | ====== Einleitung ====== | ||
- | Auf dieser Wiki Seite werden Messwerte, Versuchsdurchführungen und theoretische Überlegungen zum Versuch | + | Auf dieser Wiki Seite werden Messwerte, Versuchsdurchführungen und theoretische Überlegungen zum Versuch |
====== Theoretische Vorüberlegungen ====== | ====== Theoretische Vorüberlegungen ====== | ||
- | Die Messung des Winkels φ wurde über geometrische Überlegungen gelöst wie in folgender Abbildung verdeutlicht wird. | + | |
===== Berechnen der Schwingungsdauer T aus der Kreisfrequenz | ===== Berechnen der Schwingungsdauer T aus der Kreisfrequenz | ||
Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Schwingungsdauer lautet allgemein: | Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Schwingungsdauer lautet allgemein: | ||
Line 55: | Line 55: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Da $\omega >0$ gilt dementsprechend $A=0$. und für die Schwingungsgleichung: | Da $\omega >0$ gilt dementsprechend $A=0$. und für die Schwingungsgleichung: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die 2fache Zeitliche Ableitung ist enstprechend: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{d^2\phi(t)}{dt^2}=\phi_{0}\omega^2\cdot (-cos(\omega \cdot t)) | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Die Anfangsbedingungen sind folglich | ||
+ | ===== Einheiten der Messgrößen | ||
+ | Das Drehmoment wird in Nm (in SI-Einheiten $\frac{kgm^2}{s^2}$) gemessen.\\ | ||
+ | Der Winkel $\phi$ wird in Radianten (rad) gemessen.\\ | ||
+ | Die Winkelrichtgröße $D_R$ kann durch $-\frac{D}{\phi}$ ausgedrückt werden und hat demensprechend die Einheit $\frac{Nm}{rad}$.\\ | ||
+ | Das Trägheitsmoment I hat die Einheit $kgm^2$ und kann gemessen oder mit dem Steinerschen Satz berechnet werden. | ||
+ | ===== Beweis der Kreisfrequenz | ||
+ | Es gilt | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) | ||
Line 73: | Line 89: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\omega= \sqrt{\frac{D_{R}}{I}} | \omega= \sqrt{\frac{D_{R}}{I}} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | ===== Experimentelle Bestimmung des Drehmomentes | ||
+ | Das Drehmoment kann experimentell über den Drehimpuls bestimmt werden. | ||
+ | Es gilt der Zusammenhang: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | ===== Einheiten | + | Das Drehmoment ist also die zeitliche Änderung des Drehimpulses. Der Drehimpuls wiedrum ist definiert als das Produkt zwischen Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit.: |
+ | \begin{equation} | ||
+ | L=I\cdot \omega | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die Winkelgeschwindigkeit kann über die Schwingungsdauer berechnet werden. Ist das Trägheitsmoment eines Körpers bekannt kann also das Drehmoment durch Messen der Schwingungsdauer experimentell bestimmt werden. Eine möglichkeit wäre das Anbringen von Magneten an einen Schwingenden Körper, welche bei maximaler Auslenkung an einer Spule eine Spannung induzieren würden. | ||
+ | |||
+ | ===== Arbeit und Rotationsenergie | ||
+ | Die Arbeit wird bei Drehbewegungen folgendermaßen beschrieben: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | W_{rot}=D\cdot \phi | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Demensprechend ist die Änderung | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{dW_{rot}}{dt}=D\cdot \frac{d\phi}{dt}=D\cdot \omega | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die Bewegungsenergie wird bei Kreisbewegungen in Translations- und Rotationsenergie aufgespalten. Erstere kommt bei gleitenden Bewegungen vor und entspricht der bekannten kinetischen Energie. Letztere kommt bei rollenden Bewegunden zum Tragen und lautet: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | E_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Die Änderung der Rotationsenergie entspricht: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | E_{rot}=\frac{1}{2}I\alpha^2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. | ||
+ | Außerdem wissen wir bereits, dass gilt: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{dL}{dt}=D | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Schreiben wir den Drehimpuls aus, erhalten wir: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I\frac{d\omega}{dt}=D | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Aus Gleichung 1 wissen wir zudem: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | D=-D_R\phi | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Setzen wir beide Terme gleich und berücksichtigen, | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I\frac{d^2\phi}{dt^2}=-D_R\phi | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | ===== Der Steinersche Satz ===== | ||
+ | Der Steinersche Satz sagt aus, wie sich das Trägheitsmoment eines Körpers der Masse M im Abstand d von seiner Hauptträgheitsachse ändert. Mathematisch ausgedrückt lautet er: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I_p=I_s+Md^2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | wobei $I_p$ das Trägheitsmoment bei der parallel verschobenen Trägheitsachse und $I_s$ das Trägheitsmoment der Hauptträgheitsachse ist. | ||
+ | Die Hauptaussage des Satzes ist, dass sich das Trägheitsmoment bei Entfernung von der Hauptträgheitsachse quadratisch zum Abstand von ihr ändert. | ||
+ | Der Beweis des Steinerschen Satzes kann experimentell mithilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels erbracht werden. | ||
+ | ====== Versuchsdurchführung ====== | ||
+ | Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
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+ | An einer der mittleren Halterungen wurde die Gitarrenseite befestigt um eine freie Drehung zu ermöglichen. Für die meisten Messungen wurde ein zylinderförmiger Massagerolle aus Polyethylen verwendet. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | Diese besitzt die Maße | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | l_{rolle}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | d_{rolle}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | r_{rolle}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Als Unsicherheit wurden jeweils 50% der kleinsten messbaren Größe angenommen, also 0,5 mm bei 1mm messbarer Größe. | ||
+ | Die Rolle besitzt die Masse | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | m_{rolle}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Bei der Masse war die kleinste messbare größe 1g, damit erhält man die Unsicherheit 0,5g. | ||
+ | ==== Die Schrecksekunde ===== | ||
+ | Da anders als bei dem Versuch " | ||
+ | Im Bereich Messwerte, wurden die gemessenen Werte der Schrecksunde dargestellt. Man erhält für die Schrecksekunde: | ||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | t_{Schreck}= 0,28s\pm 0,06s | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | ==== Versuch 1- Das Torsionsmodul des Drahtes ===== | ||
+ | In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweilige Hin und Herschwingen gemessen wurde. Es wurden jeweils 4 mal die Zeit für 5 Schwingungen gemessen und daraus die einzelne Schwingugnsdauer bestimmt. Als Reaktionszeit wurde $0,28 S\pm 0,06s$ angenommen(s. Schrecksekunde) | ||
+ | Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ==== Versuch 2- Trägheitsmoment ===== | ||
+ | Da nun das Torsionsmodul bekannt ist, kann das Trägheitsmoment über die gemessenen Schwingungsdauern berechnet werden. Dazu wird der Versuchsablauf aus Versuch 1 mit verschiedenen Formen wiederholt. | ||
+ | ===== Verschiedene Formen ===== | ||
+ | Für diesen Versuch wurde zunächst eine Thermoskanne gewählt. Diese entspricht näherungsweise einem Hohlzylinder, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | Die Thermoskanne besitzt die Masse | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | m_{thermoskanne}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Als weitere Form wurde der Kopf eines Pürierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Der Pürierstab besitzt die Masse | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | m_{Pürierstab}=0, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | ===== Gefüllte Christbaumkugeln ===== | ||
+ | Gefüllte " | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ====== Messwerte ====== | ||
+ | ===== Versuch 1===== | ||
+ | ==== Ein Draht verschiedene Längen==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,160m ±0, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 26,75 | 5,35 | | ||
+ | | 2 | 26,31 | 5,262 | | ||
+ | | 3 | 26,35 | 5,27 | | ||
+ | | 4 | 26,44 | 5,288 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,230m ±0, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 32,22 | 6,444 | | ||
+ | | 2 | 32,13 | 6,426 | | ||
+ | | 3 | 31,93 | 6,386 | | ||
+ | | 4 | 32,09 | 6,418 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,270m ±0, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 35,32 | 7,064 | | ||
+ | | 2 | 34,53 | 6,906 | | ||
+ | | 3 | 34,81 | 6,962 | | ||
+ | | 4 | 34,5 | 6,9 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Draht mit Länge l= 0,350m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 40,33 | 8,066 | | ||
+ | | 2 | 40,54 | 8,108 | | ||
+ | | 3 | 40,45 | 8,09 | | ||
+ | | 4 | 40,1 | 8,02 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | == Draht mit Länge l= 0,430m ±0, | ||
+ | |||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 41,27 | 8,254 | | ||
+ | | 2 | 40,58 | 8,116 | | ||
+ | | 3 | 40,95 | 8,19 | | ||
+ | | 4 | 41,09 | 8,218 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | ==== Verschiedene | ||
+ | === Dicker Draht (r=0, | ||
+ | === Draht mit Länge l= 0,150m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 15,13 | 3,026 | | ||
+ | | 2 | 15,52 | 3,104 | | ||
+ | | 3 | 15,55 | 3,11 | | ||
+ | | 4 | 15,44 | 3,088 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,250m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 17,25 | 3,45 | | ||
+ | | 2 | 17,36 | 3,472 | | ||
+ | | 3 | 17,26 | 3,452 | | ||
+ | | 4 | 16,68 | 3,336 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Draht mit Länge l= 0,350m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 18,56 | 3,712 | | ||
+ | | 2 | 18,79 | 3,758 | | ||
+ | | 3 | 18,48 | 3,696 | | ||
+ | | 4 | 18,02 | 3,604 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | === Seil === | ||
+ | === Seil mit Länge l= 0,110m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 71,55 | 14,31 | | ||
+ | | 2 | 71,48 | 14, | ||
+ | | 3 | 70,68 | 14, | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Seil mit Länge l= 0,190m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 80,06 | 16, | ||
+ | | 2 | 80,56 | 16, | ||
+ | | 3 | 85,33 | 17, | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | === Seil mit Länge l= 0,450m ±0, | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 104,3 | 20,86 | | ||
+ | | 2 | 117,8 | 23,56 | | ||
+ | | 3 | 116, | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | ===== Versuch 2===== | ||
+ | === Thermoskanne=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 32,29 | 6,458 | | ||
+ | | 2 | 31,72 | 6,344 | | ||
+ | | 3 | 32, | ||
+ | | 4 | 32,09 | 6,418 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | === Pürierstabkopf=== | ||
+ | ^ Messung | ||
+ | | | T für 5 Schwingungen[s] | ||
+ | | 1 | 30,86 | 6,172 | | ||
+ | | 2 | 30,54 | 6,108 | | ||
+ | | 3 | 30,08 | 6,016 | | ||
+ | | 4 | 29,72 | 5,944 | | ||
+ | | ||| | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
- | ===== Beweis der Kreisfrequenz |