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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:start [13 January 2021 15:22] – [Aufgaben] leonkaspereka_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:start [22 January 2021 20:39] (current) – [Trägheitsmoment] leonkasperek
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 ====== Einleitung ====== ====== Einleitung ======
- +Auf den folgenden Seiten werden wir unser Vorgehen bei dem Versuch Drehschwingungen dokumentieren. 
 +Dabei liegt besonderer Fokus auf der Vorbereitung und der Versuchsdurchführung, sowie den Messwerten. In dem angefertigten Latex-Dokument werden die umfangreichen Ausführungen, sowie die Plots und Auswertungen zu finden sein.
 ====== Theoretische Grundlagen ====== ====== Theoretische Grundlagen ======
 +Bevor wir mit dem Versuch starten sind einige theoretische Betrachtungen von nöten, die wir im folgen bearbeiten werden.
 ===== Formeln ===== ===== Formeln =====
 In den Berechnungen werden die folgenden Formeln von nöten sein.\\ In den Berechnungen werden die folgenden Formeln von nöten sein.\\
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 mit D: rücktreibendes Drehmoment, $\omega$: Kreisfrequenz, G: Torsionsmodul des Materials, r: Radius des Drahtes, L: Länge des Drahtes mit D: rücktreibendes Drehmoment, $\omega$: Kreisfrequenz, G: Torsionsmodul des Materials, r: Radius des Drahtes, L: Länge des Drahtes
 ===== Aufgaben ===== ===== Aufgaben =====
 +Als nächstes haben wir uns mit einigen theoretischen Fragen beschäftig, welche wir hier im folgenden ausführen werden.
 +==== Fragen ====
  
 0. Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T.\\ 0. Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T.\\
-Es gilt: $T= \frac{2 \cdot \pi}{f}$, woraus folgt: $T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\pi \cdot G \cdot r^4}{2 \cdot L \cdot I}}}$. 
  
 1. Welche Anfangsbedingungen führen auf die Lösung (3)?\\ 1. Welche Anfangsbedingungen führen auf die Lösung (3)?\\
-Wenn man die DGL löst, erhält man als Ergebnis: $\varphi(t) = A sin (wt) + B Cos (wt)$\\ 
-Damit wir unser Ergebnis erhalten, müssen folgende Anfangsbedingungen gelten: $\varphi (0) = \varphi_{0}$ und $\varphi (\frac{I \cdot n \cdot \pi}{N}) = 0$\\ 
  
 2. In welchen Einheiten werden D, $D_{R}$, I, $\varphi$ gemessen? 2. In welchen Einheiten werden D, $D_{R}$, I, $\varphi$ gemessen?
  
 3. Setzen Sie Gl. (3) in Gl.(2) ein und beweisen Sie damit die Beziehung für $\omega$.\\ 3. Setzen Sie Gl. (3) in Gl.(2) ein und beweisen Sie damit die Beziehung für $\omega$.\\
-$I \cdot \phi_0 \cdot w^2 \cdot cos(wt) = D_r \cdot \phi_0 \cdot cos(wt)$\\ 
-$I \cdot w^2 = D_r$\\ 
-$w^2 = \frac{D_r}{I}$\\ 
-$w = \sqrt{\frac{D_r}{I}}$ 
- 
  
 4. Wie kann man ein Drehmoment experimentell bestimmen? 4. Wie kann man ein Drehmoment experimentell bestimmen?
-Man muss dabei die länge des Hebels und den Winkel der darauf wirkenden Kraft, sowie den Betrag der Kraft messen. Nun kann man nach  
-$D = r \times F$ das Drehmoment berechnen. 
  
 5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit $dW$, wenn das System um $d\varphi$ gedreht 5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit $dW$, wenn das System um $d\varphi$ gedreht
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 6. Wie lautet der Steinersche Satz? Welche physikalische Aussage benötigen Sie zu seinem Beweis? 6. Wie lautet der Steinersche Satz? Welche physikalische Aussage benötigen Sie zu seinem Beweis?
  
 +==== Antworten ====
  
-===== Schwingungsdauer =====+0.\\ 
 +Es gilt: $T= \frac{2 \cdot \pi}{f}$, woraus folgt: $T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\pi \cdot G \cdot r^4}{2 \cdot L \cdot I}}}$. 
 + 
 +1.\\ 
 +Wenn man die DGL löst, erhält man als Ergebnis: $\varphi(t) = A \cdot sin (wt) + B \cdot cos (wt)$\\ 
 +Damit wir unser Ergebnis erhalten, müssen folgende Anfangsbedingungen gelten: $\varphi (0) = \varphi_{0}$ und $\varphi (\frac{I \cdot n \cdot \pi}{N}) = 0$\\ 
 + 
 +2.\\  
 +$[\phi] = rad$\\ 
 +$[D_R]  = \frac{N \cdot m}{rad}$\\ 
 +$[D]    = N \cdot m$\\ 
 +$[I]    = kg \cdot m^2$\\ 
 + 
 +3.\\ 
 +$I \cdot \phi_0 \cdot w^2 \cdot cos(wt) = D_R \cdot \phi_0 \cdot cos(wt)$\\ 
 +$I \cdot w^2 = D_R$\\ 
 +$w^2 = \frac{D_R}{I}$\\ 
 +$w = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ 
 + 
 + 
 +4.\\ 
 +Man muss dabei die länge des Hebels und den Winkel der darauf wirkenden Kraft, sowie den Betrag der Kraft messen. Nun kann man nach  
 +$\vec{D} = \vec{r} \times \vec{F}$ das Drehmoment berechnen. 
 + 
 +5.\\ 
 +Für die Arbeit gilt:\\ 
 +$dW = D d\phi$\\ 
 +Dies können wir mit der Rotationsenergie zu:\\ 
 +$dW = \frac{1}{2} \cdot I \cdot (d \dot{\phi})^2$\\ 
 +umschreiben. 
 +Folglich gilt:\\ 
 +$dW = D d\phi =\frac{1}{2} \cdot I \cdot (d \dot{\phi})^2$\\ 
 +Daruas können wir nun folgern:\\ 
 +$M = I \cdot \ddot{\phi}$.\\
  
 +6.\\
 +$I_2 = I_1 + md^2$
 +Das Trägheitsmoment für die Rotation eines Körpers durch eine Achse, welche nicht durch den Schwerpunkt verläuft, kann durch das Trägheitsmoment einer Achse, welche Parallel dazu ist und durch den Schwerpunkt verläuft uns dem Quadrat des Abstandes, sowie der Masse des Körpers berechnet werden.
  
 ====== Messungen ====== ====== Messungen ======
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 ===== Vorgehen ===== ===== Vorgehen =====
  
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.25.08.jpeg?200|}}
 +Als erstes beginnen wir mit einer Messung zur Bestimmung des Torsionsmoduls unseres Drahtes. Hierfür hängen wir eine Gitarrensaite an einen besen auf, lassen den Draht herunter hängen und befestigen an das andere Ende eine kleine Stange. Diese Stange lenken wir nun aus und Messen die Zeit für 5 Schwingungsperioden nach loslassen. 5 Schwingungsperioden anstatt nur eine, um den Messfehler beim Stoppen möglicht gering halten zu können.\\
 +Wir variieren dann die Länge des Drahtes und führen die Messung des weiteren auch mit anderen angehängten Matieralien, Drähten und Drahtlängen durch. \\
  
-===== Testen =====+===== Torsionsmodul des Drahtes ===== 
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.29.48.jpeg?200|}} 
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-21_at_16.33.07.jpeg?200|}}
  
 +Für die Berechnung des Torsionsmodul unseres Drahtes benutzen wir folgende Formel aus den Vorüberlegungen:\\
 +$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\pi \cdot G \cdot r^4}{2 \cdot L \cdot I}}}$\\
 +Diese konnen wir nun nach G umstellen und kommen auf:\\
 +$G = \frac{8 \cdot \pi \cdot L \cdot I}{T^2 \cdot r^4}$.\\
 +Nun können diese auch nochmal folgendermaßen schreiben:\\
 +$G = \frac{8 \cdot \pi \cdot I}{r^4}\cdot \frac{L}{T^2}$\\
 +mit der dazugehörigen Unsicherheit:\\
 +$u(G) = \sqrt{(\frac{u(L)}{L})^2+(\frac{u(I)}{I})^2+(2 \cdot \frac{u(T)}{T})^2+(4\cdot\frac{u(r)}{r})^2} \cdot G$\\
 +Nun können wir auch über einen Plot mit linearem Fit, bei welchen wir die Periodendauer in Abhängigkeit von der Wurzel der Länge auftragen, über den Parameter A das Torsionsmodul bestimmen:\\
 +$G = \frac{8 \cdot \pi \cdot I}{r^4}\cdot \frac{1}{A^2}$\\
 +$u(G) = \sqrt{(\frac{u(I)}{I})^2+(4\cdot\frac{u(r)}{r})^2+ (2\cdot\frac{u(A)}{A})^2} \cdot G$
  
 +===== Trägheitsmoment =====
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.26.19.jpeg?200|}}
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.26.19_1_.jpeg?200|}}
 +
 +Wenn wir das Torsionsmodul kennen, können wir anschließend auch relativ einfach das Trägheitsmoment für andere angehängte Gegenstände bestimmen. Wir haben unsere Messung nun also zusätzlich mit einem Nudelsieb und einer Flasche durchgeführt und können wieder als ausgangspunkt für unsere Berechnungen die Formel aus den Vorüberlegungen verwenden.\\
 +\begin{align}
 +I &= \frac{T^2 \cdot G \cdot r^4}{8 \cdot \pi \cdot L}\\
 +u(I) &= I \cdot \sqrt{(4 \cdot \frac{u(r)}{r})^2+(2 \cdot \frac{u(T)}{T})^2+(\frac{u(G)}{G})^2+(\frac{u(L)}{L})^2}
 +\end{align}\\
 +Durch einsetzten aller vorhandenen Werte kommen wir auf die Trägheitsmomente der untersuchten Objekte.\\
 +Die Verwendung von mit Wasser gefüllten Christbaumkugel war von uns in unserem Versuch nicht durchzuführen. Die Bewegung war so stark gedämpft, dass eine Messdatenaufnahme nicht möglich war.
 ===== Messunsicherheiten =====  ===== Messunsicherheiten ===== 
  
 +Bei der Unsicherheit der Zeitmessung haben wir zunächst den Standardfehler ermittelt, welcher die Unsicherheit der Streuung betrachtet. Hierfür haben wir die Standardabweichungen der Messreihen ermittelt, den Mittelwert genommen und mit diesem Wert ($\sigma= 0,048s)$. MIt der Formel $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ kommen wir schließlich auf einen Wert von $u(T) = 0,022 s$.\\ 
 +Die Unsicherheiten für die Länge der angehängten Stange setzen wir messbedingt auf $0,5 cm$, die Unsicherheit des Durchmessers der Stange messbedingt auf $0,05 mm$ und die der Masse auf $0,5 g$. Wir wählen diese so, da es sich dann um die Hälfte einer Skaleneinheit handelt. Bei alle weiteren Messungen handelt es sich ebenfalls um die halben Skaleneinheiten und sind jeweils dazu geschreiben.
 ===== Messwerte =====  ===== Messwerte ===== 
-Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s. +Messreihe für fünf Perioden für den dicken Draht ($d=(0,50\pm0,05)mm$) und einem Stab mit einer Länge von $(40\pm0,5)cm$, einer Dicke von $(6\pm0,5)mm$ und einem Gewicht von $(89\pm0,5)g$ 
-^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durchschnitt  | +^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
-^ 1°      | 1,1s   | 1,17s  | 1,24s  | 1,06s  | 1,20s  | 1,15s         | +^ 62 cm   | 53,25s  | 53,31s  | 54,32s  | 53,81s  | 53,75s  | 10,7376s  | 0,0776       | 
-^ 10°     | 0,85s  | 0,85s  | 0,84s  | 0,81s  | 0,85s  | 0,84s         | +^ 48,5cm  | 48,08s  | 48,00s  | 48,23s  | 47,85s  | 47,87s  | 9,6012s   | 0,02808      | 
-^ 20°     | 0,7s   | 0,64s  | 0,60s  | 0,64s  | 0,67s  | 0,64s         | +^ 31,3cm  | 38,64s  | 38,53s  | 38,41s  | 38,59s  | 38,52s  | 7,7076s   | 0,01546      | 
-^ 30°     | 0,52s  | 0,56s  | 0,56s  | 0,49s  | 0,53s  | 0,53s         | +^ 18,4cm  | 30,85s  | 30,78s  | 30,62s  | 30,58s  | 30,31s  | 6,1256s   | 0,03752      | 
-^ 40°     | 0,35s  | 0,35s  | 0,30s  | 0,36s  | 0,40s  | 0,35s         |+^ 9,6cm   | 22,73s  | 23,20s  | 22,84s  | 23,86s  | 22,78s  | 4,6056s   | 0,08452      | 
 + 
 +Messreihe für fünf Perioden für den dünnen Draht ($d=(0,30\pm0,05)mm$) mit dem gleichem Stab, welchen wir beim dicken Draht verwendet haben. 
 +^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
 +| 20,5cm  | 51,60s  | 51,66s  | 51,62s  | 51,83s  | 51,92s  | 10,3452s  | 0,02528      |
  
-===== Numerische Werte ===== +Messreihe für fünf Perioden für einen dicken Draht ($d=(0,50\pm0,05)mm$) mit einem Sieb (Gewicht $(428\pm0,5)g$) als Körper für die erste Messreihe und einer Flasche (Gewicht $(359\pm0,5)g$) als Körper für die zwite Messreihe. 
 +^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
 +| 26cm    | 65,41s  | 66,46s  | 66,60s  | 66,48s  | 66,58s  | 13,2612s  | 0,09026      | 
 +| 18,3cm  | 13,89s  | 14,04s  | 13,97s  | 14,12s  | 13,87s  | 2,7974s   | 0,01866      |
  
-Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. 
-^ Winkel  ^ 1°       ^ 10°      ^ 20°      ^ 30°      ^ 40°      ^ 
-^ Zeit    | 1,4981s  | 0,8412s  | 0,6436s  | 0,5269s  | 0,4416s  | 
  
 +Messreihe für fünf Perioden für einen Kupferdraht ($d=(1,30\pm0,05)mm$) mit dem gleichem Stab, welchen wir beim dicken Draht verwendet haben.
 +^ Länge    ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^
 +| 36,3 cm  | 5,55 s  | 5,82 s  | 5,75 s  | 5,81 s  | 5,94 s  | 1,1548 s  |  0,02556 s   |
  
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