meta data for this page
  •  

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:start [21 January 2021 11:51] – [Experimente] larskriegera_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:start [21 January 2021 16:01] (current) – bennetedelburg
Line 11: Line 11:
 ==Aufgabe 1== ==Aufgabe 1==
 Um zu überprüfen, welche Anfangswerte auf die Lösung $\varphi(t)=\varphi_0\cos{\omega t}; \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ führen, betrachten wir zu erst die DGL $I\ddot{\varphi} = - D_R\varphi$. Um zu überprüfen, welche Anfangswerte auf die Lösung $\varphi(t)=\varphi_0\cos{\omega t}; \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ führen, betrachten wir zu erst die DGL $I\ddot{\varphi} = - D_R\varphi$.
-Dabei handelt es sich um eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung der 2. Ordnung, die uns an die des harmonischen Oszillators bzw. an die DGL des Federpendels erinnert. Daher wissen wir, dass die Lösung dieser DGL allgemein von der Form+Dabei handelt es sich um eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) der 2. Ordnung, die uns an die des harmonischen Oszillators bzw. an die DGL des Federpendels erinnert. Daher wissen wir, dass die Lösung dieser DGL allgemein von der Form
 $\varphi(t) = A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}$ und $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ sein muss. Wir wollen uns nun die Anfangswerte überlegen. Zum Startpunkt $t = 0$ hat das Drehpendel eine Startauslenkung $\varphi_0$. Daher sollte einer der Anfangswerte $\varphi(0) = \varphi_0$ sein. Weiterhin hat das Pendel bei dem Zeitpunkt $t=0$ keine Geschwindigkeit. Daher sollte für die zweite Anfangsbedingung gelten $\dot{\varphi}(0)=0$. $\varphi(t) = A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}$ und $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ sein muss. Wir wollen uns nun die Anfangswerte überlegen. Zum Startpunkt $t = 0$ hat das Drehpendel eine Startauslenkung $\varphi_0$. Daher sollte einer der Anfangswerte $\varphi(0) = \varphi_0$ sein. Weiterhin hat das Pendel bei dem Zeitpunkt $t=0$ keine Geschwindigkeit. Daher sollte für die zweite Anfangsbedingung gelten $\dot{\varphi}(0)=0$.
 Dies wollen wir nun überprüfen, indem wir die Anfangswerte einsetzen. Dazu benötigen wir erst die erste zeitliche Ableitung von $\varphi(t)$. Sie lautet: $\dot{\varphi}(t)= - A\omega\sin{\omega t} + B\omega \cos{\omega t}$. Damit ergibt sich: Dies wollen wir nun überprüfen, indem wir die Anfangswerte einsetzen. Dazu benötigen wir erst die erste zeitliche Ableitung von $\varphi(t)$. Sie lautet: $\dot{\varphi}(t)= - A\omega\sin{\omega t} + B\omega \cos{\omega t}$. Damit ergibt sich:
Line 35: Line 35:
  
 ==Aufgabe 4== ==Aufgabe 4==
-Wir können das Drehmoment mithilfe der Beziehung $D = - D_R \varphi$ bestimmen. Wenn wir für $\varphi$ die Startauslenkung nehmen, so können wir das maximale Drehmoment für die enstprechende Messung berechnen, da der Winkel aufgrund der Luftreibung immer kleiner wird. Das rücktreibene Drehmoment berechnet man mit $D_R = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{G\cdot r^4}{L}$, wobei G das Torsionsmodul des Materials ist, r der Radius des Drahtes und L die Länge des Drahtes. G lässt sich hier experimentell bestimmen.+Das Drehmoment $M$ ließe sich expermientell über die Beziehung $M = I\cdot \dot{\omega}$ bestimmen. Hierbei ist $I$ das Trägheitsmoment und $\dot{\omega}$ die Winkelbeschleunigung. Die Winkelbeschleunigung kann mittels $\ddot{\varphi}(t) = \varphi_0\cdot (-\omega^2)\cdot \cos{(\omega t)} = - \varphi_0\cdot \frac{D_R}{I}\cos{(\sqrt{\frac{D_R}{I}}t)}$ bestimmt werden, wobei $D_R$ und $I$ ebenfalls experimentell bestimmt werden können. Wenn man nun für $t$ die Periodendauder verwendet, erhält man die Winkelgeschwindigkeit am Ende einer Periode, womit man das Drehmoment am Ende einer Periode bestimmen kann.
  
 ==Aufgabe 5== ==Aufgabe 5==
-Das Drehmoment ist vergleichbar mit der Kraft, nur dass hier eine Drehbewegung statt eine geradlinige Bewegung sattfindet. Damit können wir Rückschlüsse auf die Arbeit schließen. Für die Kraft gilt $W = \int \vec F(\vec s)\cdot \mathrm{d}\vec s$. Nun haben wir hier aber einen Winkel statt eine geradlinige Bewegung. Das heißt es wird eine Arbeit verrichtet, wenn zwischen zwei Winkeln ein konstanter Drehmoment wirkt. Das heißt, es gilt $W = \int \vec D \cdot \mathrm{d}\vec{\varphi}$. Dann erhalten wir die Beziehung $\mathrm{d}W = D \mathrm{d}\varphi$ für die Arbeit. Die Rotationsenergie ist $\frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2$. Es ist also$ D \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2$ als Änderung an Rotationsenergie. Damit ergibt sich:+Das Drehmoment ist vergleichbar mit der Kraft, nur dass hier eine Drehbewegung anstatt einer geradlinigen Bewegung stattfindet. Damit können wir Rückschlüsse auf die Arbeit schließen. Für die Kraft gilt $W = \int \vec F(\vec s)\cdot \mathrm{d}\vec s$. Nun haben wir hier aber einen Winkel anstatt einer geradlinigen Bewegung. Das heißt, es wird eine Arbeit verrichtet, wenn zwischen zwei Winkeln ein konstantes Drehmoment wirkt. Das heißt, es gilt $W = \int \vec D \cdot \mathrm{d}\vec{\varphi}$. Dann erhalten wir die Beziehung $\mathrm{d}W = D \mathrm{d}\varphi$ für die Arbeit. Die Rotationsenergie ist $\frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2$. Es ist also$ D \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2$ als Änderung an Rotationsenergie. Damit ergibt sich:
 \begin{align*} \begin{align*}
 &D \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2 && \vert :\mathrm{d}t\\ &D \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2 && \vert :\mathrm{d}t\\
Line 76: Line 76:
 Gemessen mit einer Schieblehre: Durchmesser des Drahtes $=(0{,}7\pm0{,}1)\mathrm{mm}$ Gemessen mit einer Schieblehre: Durchmesser des Drahtes $=(0{,}7\pm0{,}1)\mathrm{mm}$
 ==Messwerte zum Torsionsmodul des Drahtes für die Metallstange== ==Messwerte zum Torsionsmodul des Drahtes für die Metallstange==
-^ l in cm  ^ T5 in s  ^ +Die Unsicherheit der Länge ist $u(L) = 2\,\mathrm{mm}$. Für die Unsicherheit der Periodendauer siehe den Abschnitt zu Unsicherheiten hier im Wiki. 
-| 15,2     | 9,62     | +^ L in cm  ^ T5 in s  ^ T in s  ^ 
-| 20       | 10,26    | +| 15,2     | 9,62     | 1,92    | 
-| 25,3     | 11,61    | +| 20,0     | 10,26    | 2,05    | 
-| 32       | 13,03    | +| 25,3     | 11,61    | 2,32    | 
-| 34,8     | 13,19    | +| 32,0     | 13,03    | 2,61    | 
-| 40,2     | 14,14    | +| 34,8     | 13,19    | 2,64    | 
-| 44       | 14,89    | +| 40,2     | 14,14    | 2,83    | 
-| 48,8     | 15,21    | +| 44,0     | 14,89    | 2,98    | 
-| 51       | 15,83    | +| 48,8     | 15,21    | 3,04    | 
-| 58       | 17,16    |+| 51,0     | 15,83    | 3,17    | 
 +| 58,0     | 17,16    | 3,43    |
  
 ===Unsicherheiten=== ===Unsicherheiten===
 ==Unsicherheit für die Zeitmessung bei Person1== ==Unsicherheit für die Zeitmessung bei Person1==
-Programm für die Unsicheit (läuft nur auf windows):+Programm für die Unsicheit (läuft nur auf **Windows**):
 <code c++ Schrecksekunde.cpp> <code c++ Schrecksekunde.cpp>
 #include <Windows.h> #include <Windows.h>
Line 218: Line 219:
 Als nächstes haben wir ein paar Gummibänder zerschnitten und diese zusammengeknotet und diese dann als Aufhängung verwendet. Hier mit einer Startauslenkung: Als nächstes haben wir ein paar Gummibänder zerschnitten und diese zusammengeknotet und diese dann als Aufhängung verwendet. Hier mit einer Startauslenkung:
 {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:gummiband1.mp4 |}} {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:gummiband1.mp4 |}}
-Als letztes haben wir einen Schnürsenkel ausprobiert. Wieder mite einer Startauslenkung.+Als letztes haben wir einen Schnürsenkel ausprobiert. Wieder mit einer Startauslenkung.
 {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:schnursenkel.mp4 |}} {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:schnursenkel.mp4 |}}
  
-Näheres dazu im Bericht im Kap --- .+Näheres dazu im Bericht im Kapitel "Variation der Aufhängung".
 ===Verschiedene Geometrien=== ===Verschiedene Geometrien===
 ==Kugel== ==Kugel==
Line 232: Line 233:
 $\text{Höhe}=2{,}47\mathrm{cm}\pm0{,}1\mathrm{mm},\ \text{Breite}=11{,}8\mathrm{cm}\pm1\mathrm{mm},\ \text{Tiefe}=18{,}1\mathrm{cm}\pm1\mathrm{mm},\ \text{Masse}=(294\pm0{,}5)\mathrm{g}$. Höhe, Breite und Tiefe bezogen darauf, dass das Buch Plan auf dem Tisch liegt (im Bild anders). $\text{Höhe}=2{,}47\mathrm{cm}\pm0{,}1\mathrm{mm},\ \text{Breite}=11{,}8\mathrm{cm}\pm1\mathrm{mm},\ \text{Tiefe}=18{,}1\mathrm{cm}\pm1\mathrm{mm},\ \text{Masse}=(294\pm0{,}5)\mathrm{g}$. Höhe, Breite und Tiefe bezogen darauf, dass das Buch Plan auf dem Tisch liegt (im Bild anders).
 {{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:buch_drehpendel.jpg?200|}}Bei einer Drahtlänge von $(43\pm0{,}5)\mathrm{cm}$ wurde für fünf Perioden eine Dauer von $58{,}95\mathrm{s}$ gemessen. {{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:buch_drehpendel.jpg?200|}}Bei einer Drahtlänge von $(43\pm0{,}5)\mathrm{cm}$ wurde für fünf Perioden eine Dauer von $58{,}95\mathrm{s}$ gemessen.
 +==Kugel mit Wasser gefüllt==
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe327:tmp_28268-20210121_1418291641067932.mp4 |}}