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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe326:start [21 January 2021 12:40] – [Versuchsdurchführung] jan-schimansky@gmx.dea_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe326:start [ 3 February 2021 10:35] (current) – [Vorüberlegungen] davinhoellmann
Line 4: Line 4:
  
 ====== Einleitung ====== ====== Einleitung ======
-Im folgenden Versuch wird die Drehschwingung eines Torsionsmoduls und die damit verbundene Physik untersucht. Der Versuch ist in zwei Teile aufgeteilt. Zum einen werden im Home-Lab Messreihen von vier verschiedenen Torsionsaufhängungen die Torsionsmodule bestimmt indem ein Stab mit bekanntem Trägheitsmoment ausgelenkt wird und die Periodenzeit gemessen wird. Zusätzlich werden die Trägheitsmomente zweier Gegenstände über eine zuvor bestimmte Torsionsaufhängungen bestimmt.\\+Im folgenden Versuch wird die Drehschwingung eines Torsionsmoduls und die damit verbundene Physik untersucht. Der Versuch ist in zwei Teile aufgeteilt. Zum einen werden im Home-Lab Messreihen von vier verschiedenen Torsionsaufhängungen die Torsionsmodule bestimmt indem ein Stab mit bekanntem Trägheitsmoment ausgelenkt wird und die Periodenzeit gemessen wird. Zusätzlich werden die Trägheitsmomente zweier Gegenstände über eine zuvor bestimmte Torsionsaufhängungen ermittelt.\\
  
-Im Wiki werden die Vorüberlegungen und der Versuchsaufbau sowie die zugehörigen Messwerte dokumentiert.+Im Wiki werden die Vorüberlegungen und der Versuchsaufbau sowie die zugehörigen Messwerte dokumentiert.\\
 Der Versuchsbericht deckt dann die Auswertung und Erklärung des Beobachteten ab. Der Versuchsbericht deckt dann die Auswertung und Erklärung des Beobachteten ab.
-====== Vorüberlegungen ====== + 
-\begin{align} +
-Gl. (1)&=>\:\;D=-D_R \varphi\\ +
-Gl. (2)&=>\:\;I \ddot{\varphi}=-D_R\varphi\\ +
-Gl. (3)&=>\:\;\varphi(t)=\varphi_0\cdot\text{cos}\omega t;\:\;\omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}} +
-\end{align} +
-=== Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T. === +
-\begin{align} +
-T&=\frac{2\cdot \pi}{f}\\ +
-=> T&=2\cdot \pi \sqrt{\frac{2\cdot L\cdot I}{\pi\cdot G\cdot r^4}} +
-\end{align} +
-=== Welche Anfangsbedingungen führen auf die Lösung (3)? === +
-Lösen mit dem Ansatz $\varphi=A\cdot \text{sin}(\omega t) + B\cdot \text{cos}(\omega t)$ +
-\begin{align} +
-\varphi(t=0)\text{ und }\ddot{\varphi}(t=0) +
-\end{align} +
-=== In welchen Einheiten werden $D$, $D_R$, $I$, $\varphi$ gemessen? === +
-$D$, $D_R$, $I$, $\varphi$ werden in folgenden Einheiten gemessen +
-\begin{align} +
-[D]&=N\cdot m\\ +
-[D_R]&=\frac{N\cdot m}{rad}\\ +
-[I]&=kg\cdot m^2\\ +
-[\varphi]&=rad +
-\end{align} +
-=== Setzen Sie Gl. (3) in Gl.(2) ein und beweisen Sie damit die Beziehung für $\omega$. === +
-\begin{align} +
-I \ddot{\varphi}&=-D_R\varphi_0\cdot\text{cos}\omega t\\ +
-I\cdot \omega^2&=D_R\\ +
-\omega^2&=\frac{D_R}{I}\\ +
-=> \omega&=\sqrt{\frac{D_R}{I}} +
-\end{align} +
-=== Wie kann man ein Drehmoment experimentell bestimmen? === +
-Um das Drehmoment eines beliebigen Objekts, beispielsweise einer rotierenden Scheibe oder eines Rades, experimentell zu bestimmen, kann man es beispielsweise mittels einer Halterung oberhalb seines Schwerpunkts frei drehbar aufhängen. Lenkt man diese Anordnung aus der Ruhelage aus, so beginnt es als physikalisches Pendel mit einer leicht messbaren Schwingungsdauer T um die Ruhelage zu schwingen. Für das Drehmoment des Objekts um gilt dann: +
-\begin{align} +
-D=r\times F +
-\end{align} +
-=== Auf das System wirke ein Drehmoment $D$. Wie groß ist die Arbeit $dW$, wenn das System um $d\varphi$ gedreht wird? Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? Benutzen Sie den Energiesatz, um mit diesen Beziehungen die Gl.(2) zu zeigen. === +
-W= +
-=== Wie lautet der Steinersche Satz? Welche physikalische Aussage benötigen Sie zu seinem Beweis? === +
-Der Satz von Steiner dient zur Berechnung des Trägheitsmomentes eines starren Körpers, dessen Drehachse nicht durch den Schwerpunkt verläuft, sondern parallel zur Schwerpunktachse verschoben ist.  +
-\begin{align} +
- I_2=I_1+m\cdot d^2 +
-\end{align} +
-$I_1$ - Trägheitsmoment des Körpers auf der Schwerachse\\ +
-$I_2$ - Trägheitsmoment des Körpers auf der wirklichen Drehachse\\ +
-$m$ - Masse des Körpers\\ +
-$d$ - Abstand zwischen Schwerachse und und wirklichen Drehachse\\+
  
 ====== Versuchsdurchführung ====== ====== Versuchsdurchführung ======
 === Stange === === Stange ===
 Zuerst wird der mitgegebene Stab vermessen damit das zugehörige Trägheitsmoment ausgerechnet werden kann. Die Ausmaße wurden mit einer digigtalen Schieblehre (±0,005mm) und die Masse mit einer Küchenwaage (±0,5g) gemessen. Zuerst wird der mitgegebene Stab vermessen damit das zugehörige Trägheitsmoment ausgerechnet werden kann. Die Ausmaße wurden mit einer digigtalen Schieblehre (±0,005mm) und die Masse mit einer Küchenwaage (±0,5g) gemessen.
-| Masse in g        | 32,0   | +| Masse m in g        | 32,0   | 
-| Länge in mm       | 149,97 | +| Länge l in mm       | 149,97 | 
-| Durchmesser in mm | 6,00   |+| Durchmesser D in mm | 6,00   |
  
 Für alle folgenden Messungen folgt der gleiche Grundaufbau und das gleiche Verfahren. Die Drähte sind jeweils an einer Aufhängung und dem drehenden Gegenstand befestigt. Die Länge des Drahtes wird von der Aufhängung zum Mittelpunkt des Stabes mit einem Zollstock (±0,5mm) gemessen. Die Drahtdicken werden wie der Stab per digitaler Schieblehre gemessen.  Für alle folgenden Messungen folgt der gleiche Grundaufbau und das gleiche Verfahren. Die Drähte sind jeweils an einer Aufhängung und dem drehenden Gegenstand befestigt. Die Länge des Drahtes wird von der Aufhängung zum Mittelpunkt des Stabes mit einem Zollstock (±0,5mm) gemessen. Die Drahtdicken werden wie der Stab per digitaler Schieblehre gemessen. 
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 In diesem Teil werden für 4 verschiedene Torsionsaufhängungen Messreihen durchgeführt. Dabei werden für einen Kupferdraht, eine monofile Angelschnur und einen dickeren sowie dünneren Federstahldraht Messungen mit dem mitgegebenen Stab durchgeführt um in der Auswertung die jeweiligen Torsionsmodule der Drähte zu bestimmen. In diesem Teil werden für 4 verschiedene Torsionsaufhängungen Messreihen durchgeführt. Dabei werden für einen Kupferdraht, eine monofile Angelschnur und einen dickeren sowie dünneren Federstahldraht Messungen mit dem mitgegebenen Stab durchgeführt um in der Auswertung die jeweiligen Torsionsmodule der Drähte zu bestimmen.
  
-Zuerst werden fünf Messreihen für unterschiedliche Drahtlängen mit einem dünnen Federstahldraht durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,320mm±0,005mm).{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe326:20210116_162209.jpg?600|}} +Zuerst werden fünf Messreihen für unterschiedliche Drahtlängen mit einem dünnen Federstahldraht durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,320mm±0,005mm).{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe326:20210116_162209.jpg?400|}} 
-| dünner Federstahldraht  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit T in s  | +| dünner Federstahldraht  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit $T$ in s  | Standardfehler $T_5$; $T$ in s | 
-| Länge: 163mm           | 11,00          | 11,07           | 11,05           | 11,31           | 11,26           | 11,138           | 2,2276               | +| Länge: 163mm           | 11,00           | 11,07           | 11,05           | 11,31           | 11,26           | 11,14           | 2,23               | 0,12; 0,03 | 
-| Länge: 258mm           | 13,73           | 13,42           | 13,62           | 13,76           | 13,93           | 13,692           | 2,7384               | +| Länge: 258mm           | 13,73           | 13,42           | 13,62           | 13,76           | 13,93           | 13,69           | 2,74               | 0,12; 0,03 | 
-| Länge: 336mm           | 15,90           | 15,60           | 15,73           | 15,77           | 15,74           | 15,748           | 3,1496               | +| Länge: 336mm           | 15,90           | 15,60           | 15,73           | 15,77           | 15,74           | 15,75           | 3,15               | 0,12; 0,03 | 
-| Länge: 408mm           | 17,16           | 17,29           | 17,29           | 17,23           | 17,43           | 17,28            | 3,456                | +| Länge: 408mm           | 17,16           | 17,29           | 17,29           | 17,23           | 17,43           | 17,28           | 3,46                | 0,12; 0,03 | 
-| Länge: 485mm           | 18,84           | 18,52           | 18,58           | 18,66           | 18,71           | 18,662           | 3,7324               |+| Länge: 485mm           | 18,84           | 18,52           | 18,58           | 18,66           | 18,71           | 18,66           | 3,73               | 0,12; 0,03 |
 Anschließend wird eine Messreihe mit einem dicken Federstahldraht durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,420mm±0,005mm) und die Drahtlänge (298,0mm±0,5mm). Anschließend wird eine Messreihe mit einem dicken Federstahldraht durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,420mm±0,005mm) und die Drahtlänge (298,0mm±0,5mm).
-| dicker Federstahldraht  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit T in s  | +| dicker Federstahldraht  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit $T$ in s  | Standardfehler $T_5$; $T$ in s | 
-|         | 8,61           | 8,70           | 9,08           | 8,76           | 8,70           | 8,77           | 1,754               |+|         | 8,61           | 8,70           | 9,08            | 8,76            | 8,70            | 8,77            | 1,75               | 0,12; 0,03 |
 Zusätzlich wird eine Messreihe mit einem Kupferdraht durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,320mm±0,005mm) und die Drahtlänge (456,0mm±0,5mm). Zusätzlich wird eine Messreihe mit einem Kupferdraht durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,320mm±0,005mm) und die Drahtlänge (456,0mm±0,5mm).
-| Kupferdraht  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit T in s  | +| Kupferdraht  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit $T$ in s  | Standardfehler $T_5$; $T$ in s | 
-|         | 23,82           | 23,74           | 23,76           | 23,45           | 23,59           | 23,672           | 4,7344               |+|          | 23,82           | 23,74           | 23,76           | 23,45           | 23,59           | 23,67           | 4,73               | 0,12; 0,03 |
 Als letzte Torsionsaufhängung wird eine Messreihe mit einer monofilen Angelschnur durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,530mm±0,005mm) und die Drahtlänge (298,0mm±0,5mm). Als letzte Torsionsaufhängung wird eine Messreihe mit einer monofilen Angelschnur durchgefüht. Die Drahtdicke beträgt (0,530mm±0,005mm) und die Drahtlänge (298,0mm±0,5mm).
-| monofile Angelschnur  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit T in s  | +| monofile Angelschnur  | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit $T$ in s  | Standardfehler $T_5$; $T$ in s | 
-|        | 79,56           | 77,22           | 78,27           | 77,10           | 77,67           | 77,964           | 15,5928               | +|        | 79,56           | 77,22           | 78,27           | 77,10           | 77,67           | 77,96           | 15,59               | 0,12; 0,03 | 
-=== Torsionsaufhängungen ===+=== Trägheitsmomente ===
 Der Grundaufbau bleibt gleich. Anstatt des Stabes werden nun aber jeweils einmal eine Bierflasche und ein Tennisball als Geometrien des Torsionspendels genutzt. Genutzt wird dabei durchgehend der dünne Federstahldraht um eine genaue experimentelle Bestimmung der Trägheitsmomente zu erlauben. Der Grundaufbau bleibt gleich. Anstatt des Stabes werden nun aber jeweils einmal eine Bierflasche und ein Tennisball als Geometrien des Torsionspendels genutzt. Genutzt wird dabei durchgehend der dünne Federstahldraht um eine genaue experimentelle Bestimmung der Trägheitsmomente zu erlauben.
  
-Gestartet wird mit einer Flensburgerflasche und einer Drahtlänge von (254,0mm±0,5mm). +Gestartet wird mit einer Flensburgerflasche und einer Drahtlänge von (254,0mm±0,5mm).{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe326:20210116_205307.jpg?400|}} 
-| Bierflasche | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit T in s  | +| Bierflasche | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit $T$ in s  | Standardfehler $T_5$; $T$ in s | 
-|        | 26,29          | 26,43           | 26,91           | 27,08           | 26,76           | 26,694           | 5,3388               |+|        | 26,29          | 26,43           | 26,91           | 27,08           | 26,76           | 26,69           | 5,34               | 0,12; 0,03 |
 Als zweiter Gegenstand dient ein alter Tennisball dessen Befestigung eine Drahtlänge von (146,0mm±0,5mm) aufweist.  Als zweiter Gegenstand dient ein alter Tennisball dessen Befestigung eine Drahtlänge von (146,0mm±0,5mm) aufweist. 
-| Tennisball | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit T in s  | +| Tennisball | Messung 1 in s  | Messung 2 in s  | Messung 3 in s  | Messung 4 in s  | Messung 5 in s  | Mittelwert in s  | Periodenzeit $T$ in s  | Standardfehler $T_5$; $T$ in s | 
-|        | 6,94        | 7,01           | 7,26           | 7,14           | 7,34           | 7,138           | 1,4276               |+|         | 6,94       | 7,01            | 7,26            | 7,14            | 7,34            | 7,14          | 1,43                   | 0,12; 0,03     |
 Der Tennisball wird zusätzlich mit der der Schieblehre (±0,005mm) und der Küchenwaage (±0,5g) vermessen, um später das Trägheitsmoment zu berechnen. Der Tennisball wird zusätzlich mit der der Schieblehre (±0,005mm) und der Küchenwaage (±0,5g) vermessen, um später das Trägheitsmoment zu berechnen.
-| Masse in g         | 57     | +| Masse m in g         | 57     | 
-| Durchmesser in mm  | 63,83  |+| Durchmesser D in mm  | 63,83  |