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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:start [22 January 2021 09:43] – [Theoretische Betrachtung] kirabodea_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:start [22 January 2021 10:02] (current) – Final kirabode
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 ===== Theoretische Betrachtung ===== ===== Theoretische Betrachtung =====
  
 +###
 Diese Überlegungen dienen einer ersten theoretischen Auseinandersetzung mit dem Thema und sind somit Basis für die anschließende Durchführung und Betrachtung. Diese Überlegungen dienen einer ersten theoretischen Auseinandersetzung mit dem Thema und sind somit Basis für die anschließende Durchführung und Betrachtung.
 +###
 +
  
 === Aufgabe: Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T. === === Aufgabe: Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T. ===
Line 19: Line 22:
  mit $D_R=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{G\cdot r^4}{L}$ folgt:  mit $D_R=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{G\cdot r^4}{L}$ folgt:
 \begin{align} \begin{align}
-T&=2\cdot \pi \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G \cdot r^4}}  = \sqrt{\frac{8\cdot I \cdot L \cdot \pi}{G\cdot r^4}}= \frac{2\cdot \pi}{r^2}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot L \cdot I}{\pi \cdot G}}\label{eqn:T}+T&=2\cdot \pi \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G \cdot r^4}}  = \sqrt{\frac{8\cdot I \cdot L \cdot \pi}{G\cdot r^4}}= \frac{2\cdot \pi}{r^2}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G}}\label{eqn:T}
 \end{align} \end{align}
        
Line 34: Line 37:
 \begin{align} \begin{align}
 \text{Ansatz:}\, \,\,\,\varphi(t)&=C\cdot cos(\omega\cdot t) \label{eqn:Ansatz} \\ \text{Ansatz:}\, \,\,\,\varphi(t)&=C\cdot cos(\omega\cdot t) \label{eqn:Ansatz} \\
-\ddot{\varphi}&=-C\cdot \omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t)+\ddot{\varphi}(t)&=-C\cdot \omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t)
 \end{align} \end{align}
          
-Dieser wird in die Bewegungsgleichung eingesetzt und somit der Zusammenhang für $\omega$ dargestellt. Zu Beachten ist dabei, dass $\omega$ an dieser Stelle nicht die übliche Winkelgeschwindigkeit der Rotation, sondern die Winkelgeschwindigkeit der Pendelbewegung beschreibt [Mes15, S. 86]. +### 
 +Dieser wird in die Bewegungsgleichung eingesetzt und somit der Zusammenhang für $\omega$ dargestellt. Zu Beachten ist dabei, dass $\omega$ an dieser Stelle nicht die übliche Winkelgeschwindigkeit der Rotation, sondern die Winkelgeschwindigkeit der Pendelbewegung beschreibt [Mes15, S. 86]. 
 +### 
 + 
          
 \begin{align} \begin{align}
Line 98: Line 104:
  
          
-Zur Bestimmung des Moments im Allgemeinen werden an dieser Stelle zwei Varianten aufgeführt. Die erste äußert sich durch das Messen der Kraft mit einer Federwaage oder dem Bestimmen der Masse mit anschließender Berechnung der Gewichtskraft. Ist dabei der Abstand r der Masse m zur Aufhängung, also die Länge des Hebelarms bekannt, kann über den Zusammenhang $D=r\cdot F$ der Betrag des Drehmoments berechent werden. Da allerdings das Drehmoment eine vektorielle Größe ist ($\Vec{D}=\Vec{r}\times \Vec{F}$), müssen bei dieser Betrachtungsweise entweder die Kraft und der Abstand orthogonal zueinander sein oder die resultierende Kraft bzw. Abstand  über trigonometrische Beziehungen berechnet werden. + 
-    +Zur Bestimmung des Moments im Allgemeinen werden an dieser Stelle zwei Varianten aufgeführt. Die erste äußert sich durch das Messen der Kraft mit einer Federwaage oder dem Bestimmen der Masse mit anschließender Berechnung der Gewichtskraft. Ist dabei der Abstand r der Masse m zur Aufhängung, also die Länge des Hebelarms bekannt, kann über den Zusammenhang $D=r\cdot F$ der Betrag des Drehmoments berechnet werden. Da allerdings das Drehmoment eine vektorielle Größe ist ($\Vec{D}=\Vec{r}\times \Vec{F}$), müssen bei dieser Betrachtungsweise entweder die Kraft und der Abstand orthogonal zueinander sein oder die resultierende Kraft bzw. Abstand  über trigonometrische Beziehungen berechnet werden. 
 Eine weitere Variante stellt die Bestimmung des Moments über die Pendeldauer T dar, was teils in diesem Versuch Anwendung findet. Ist die Periodendauer messbar, sowie das Trägheitsmoment I, die Länge des Drahtes L und der Radius des Drahtes r bekannt, kann das Schubmodul G anhand von der obenen benannten Formel für die Periodendauer bestimmt und mit folgender Gleichung das Moment bezüglich eines Drehwinkels $\varphi$ festgestellt werden  [TMK19, S. 364–365].  Eine weitere Variante stellt die Bestimmung des Moments über die Pendeldauer T dar, was teils in diesem Versuch Anwendung findet. Ist die Periodendauer messbar, sowie das Trägheitsmoment I, die Länge des Drahtes L und der Radius des Drahtes r bekannt, kann das Schubmodul G anhand von der obenen benannten Formel für die Periodendauer bestimmt und mit folgender Gleichung das Moment bezüglich eines Drehwinkels $\varphi$ festgestellt werden  [TMK19, S. 364–365]. 
-    + 
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 \begin{align} \begin{align}
Line 109: Line 117:
 === 5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit dW, wenn das System um $d \varphi$ gedreht wird? Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? Benutzen Sie den Energiesatz, um mit diesen Beziehungen die Gl.(2) zu zeigen. === === 5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit dW, wenn das System um $d \varphi$ gedreht wird? Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? Benutzen Sie den Energiesatz, um mit diesen Beziehungen die Gl.(2) zu zeigen. ===
  
-In einem ersten Schritt werden die Energie bei der Rotationsbewegung in Analogie zur Translationsbewegung betrachtet.+ 
 +In einem ersten Schritt wird die Energie der Rotationsbewegung in Analogie zur Translationsbewegung betrachtet.
  
 ^ ^ translatorisch ^ rotatorisch ^ ^ ^ translatorisch ^ rotatorisch ^
Line 116: Line 125:
  
  
-Mit dieser Auflistung und der folgenden Berechnung kann der Zusammenhang $D=I\cdot \ddot{\varphi}$ bewiesen werden:+Mit dieser Auflistung und der folgenden Berechnung kann der Zusammenhang $I\cdot \ddot{\varphi}=-D_R \cdot \varphi$ bewiesen werden:
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 125: Line 134:
 D\cdot \dot{\varphi}&= \frac{1}{2}\cdot I\cdot 2 \cdot \dot{\varphi} \cdot \ddot{\varphi}\\ D\cdot \dot{\varphi}&= \frac{1}{2}\cdot I\cdot 2 \cdot \dot{\varphi} \cdot \ddot{\varphi}\\
 D&=I\cdot \ddot{\varphi} D&=I\cdot \ddot{\varphi}
 +\end{align}
 +
 +Mit $D=-D_R \cdot \varphi$ folgt:
 +
 +\begin{align}
 +I\cdot \ddot{\varphi} &= -D_R \cdot \varphi 
 \end{align} \end{align}
  
 === 6. Wie lautet der Steinersche Satz? === === 6. Wie lautet der Steinersche Satz? ===
  
 +
 +###
 Wenn das Trägheitsmoment $I_S$ eines Körpers der Masse m bezüglich der Achse durch seinen Schwerpunkt bzw. durch eine seiner Hauptträgheitsachsen bekannt ist, kann das Trägheitsmoment $I_B$ bezüglich einer zur dieser parallelen Achse mithilfe des folgenden Zusammenhangs mit dem senkrechten Abstand $r_{\perp}$ der beiden Achsen berechnet werden. Da in diesem Versuch die Aufhängung im Schwerpunkt erfolgt, sodass eine Hauptträgheitsachse entlang der Saite verläuft, hat der Satz für das Experiment wenig Relevanz. Wenn das Trägheitsmoment $I_S$ eines Körpers der Masse m bezüglich der Achse durch seinen Schwerpunkt bzw. durch eine seiner Hauptträgheitsachsen bekannt ist, kann das Trägheitsmoment $I_B$ bezüglich einer zur dieser parallelen Achse mithilfe des folgenden Zusammenhangs mit dem senkrechten Abstand $r_{\perp}$ der beiden Achsen berechnet werden. Da in diesem Versuch die Aufhängung im Schwerpunkt erfolgt, sodass eine Hauptträgheitsachse entlang der Saite verläuft, hat der Satz für das Experiment wenig Relevanz.
 +###
 +
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 148: Line 167:
 <imgcaption image1|Messung des Gewichts der Stange>{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:stangengewicht.jpg?direct&200 |}}</imgcaption> <imgcaption image1|Messung des Gewichts der Stange>{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:stangengewicht.jpg?direct&200 |}}</imgcaption>
  
 +**Messung der Daten des Stabes:**
 ^  Stab  ^^^ ^  Stab  ^^^
 ^  Masse  ^  Länge  ^  Radius ^ ^  Masse  ^  Länge  ^  Radius ^
Line 158: Line 178:
  
 \begin{align} \begin{align}
-d_{Gitarrensaiten}=(0,25\pm 0,1)cm +d_{Gitarrensaiten_6}=(0,25\pm 0,1)cm 
 \end{align} \end{align}
  
 **Messung einer Periodendauer:** **Messung einer Periodendauer:**
 ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^ ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
-^84,4       | 12,24    | 13,31      | 12,77       | 13,15       |   12,83     |     +^$84,4\pm 0,1$       | 12,24    | 13,31      | 12,77       | 13,15       |   12,83     |     
-^75,3       | 12,35      | 12,29      | 12,24      | 12,03       |   12,67     |   +^$75,3\pm 0,1$       | 12,35      | 12,29      | 12,24      | 12,03       |   12,67     |   
-^65,9       | 11,73      | 11,54      | 11,68      | 11,35       |    11,82    |   +^$65,9\pm 0,1$       | 11,73      | 11,54      | 11,68      | 11,35       |    11,82    |   
-^58,3       | 10,53     | 10,79      | 10,31      | 10,66     |  10,73      |   +^$58,3\pm 0,1$       | 10,53     | 10,79      | 10,31      | 10,66     |  10,73      |   
-^50,4       | 10,47      | 10,15      | 10,35       | 10,39      |    10,21    |  +^$50,4\pm 0,1$       | 10,47      | 10,15      | 10,35       | 10,39      |    10,21    |  
  
  
Line 177: Line 197:
  
 \begin{align} \begin{align}
-d_{Gummiseil}=(1,2\pm 0,1)cm +d_{Gummiseile_6}=(1,2\pm 0,1)cm 
 \end{align} \end{align}
  
 **Messung einer Periodendauer:** **Messung einer Periodendauer:**
 ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^ ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
-^24,3       | 29,37    | 29,01      | 29,51      | 28,6      |   28,9    |    +^$24,3\pm 0,1$       | 29,37    | 29,01      | 29,51      | 28,6      |   28,9    |    
  
  
Line 194: Line 214:
  
  
-=== M3: Messung mit einem Telefon als angehängten Körper ===+=== M3: Messung mit einem Telefon als angehängter Körper ===
  
 <imgcaption image4|Aufhängung des Körpers Telefon>{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:telefon.jpg?direct&200 |}}</imgcaption> <imgcaption image4|Aufhängung des Körpers Telefon>{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:telefon.jpg?direct&200 |}}</imgcaption>
  
 ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^ ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
-^35,2       | 9,45   | 9,13     | 9,02      | 9,05      |   9,3    |    +^$35,2\pm 0,1$       | 9,45   | 9,13     | 9,02      | 9,05      |   9,3    |    
  
  
-=== M4: Messung mit einem Schuh als angehängten Körper ===+=== M4: Messung mit einem Schuh als angehängter Körper ===
  
  
Line 209: Line 229:
  
 ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^ ^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
-^51,2     | 16,08   | 15,86     | 16,15      | 16,04     |   16,02   | +^$51,2\pm 0,1$     | 16,08   | 15,86     | 16,15      | 16,04     |   16,02   | 
  
 ===== Literatur ===== ===== Literatur =====