====== Matrizenoptik ====== Um in der [[d_optikundatomphysik:geometrische_optik|geometrischen Optik]] den Weg der Lichtstrahlen durch Objekte wie Linsen und Spiegel darzustellen gibt es verschiedene Methoden. Eine ist die Konstruktion über Hauptebenen, mit denen man Linsensysteme vereinfacht. Eine elegantere Methode ist die **Matrizenformulierung**. Bei dieser Darstellung der geometrischen Optik werden die Lichtstrahlen durch Vektoren beschrieben. Die Veränderung, welche diese erfahren, wird von einer Matrix beschrieben. Betrachtet man beispielsweise den Übergang in ein neues Medium, so ist die Matrix die Funktionsvorschrift für die Änderung des Vektors in dem neuen Medium. Sie entspricht einer linearen Abbildung: Die Multiplikation des Lichtstrahlenvektors mit der Matrix ergibt den Vektor, der den Verlauf des Lichtstrahls im neuen Medium beschreibt. Der Vektor, welcher einen Lichtstrahl beschreibt, wird wie folgt definiert: Es wird die Lichtausbreitung entlang der optischen Achse betrachtet und der Vektor durch seinen Abstand und Winkel zu dieser beschrieben. Beide hängen dabei von dem betrachteten Punkt auf der optischen Achse ab. Es ergibt sich ein Vektor, der durch $r(z)$ (den Abstand zur optischen Achse) und $\alpha(z)$ (den Winkel zur optischen Achse) beschrieben wird. Die Matrizen werden entsprechend den Gesetzen für das betrachtete optische Objekt konstruiert. Da die Vektoren zwei Einträge haben, setzt sich die Matrix aus vier Einträgen zusammen. Mit einfachen Matrizenmultiplikationen lassen sich die Lichtstrahlen beschreiben. Durchläuft der Lichtstrahl mehr als ein optisches Objekt, beispielsweise 3 Elemente in der Reihenfolge $M_1$,$M_2$,$M_3$, so erfolgt die Multiplikation der Matrizen in umgekehrter Reihenfolge: $$ r_4=(M_3 \cdot M_2 \cdot M_1) \cdot r_1$$ Allgemein für $n$ durchlaufene optische Objekte: $$ r_n=(M_{n-1} \cdot \dots \cdot M_2 \cdot M_1) \cdot r_1= M \cdot r_1$$ ===== Translation ===== Der Lichtstrahl kann sich ungehindert über eine Distanz $d$ ausbreiten. Die dazugehörige Matrix lautet dann $$ T=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Mithilfe dieser Matrix kann nun ein neuer Vektor berechnet werden. Dieser Vektor stellt dann den Lichtstrahl dar, der die Distanz $d$ zurückgelegt hat, d.h. $$ \begin{pmatrix} r_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1+d\cdot\alpha_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix},$$ wobei $\bigl(\begin{smallmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{smallmatrix}\bigr)$ der Vektor ist, der den Lichtstrahl vor Ausbreitung über eine bestimmte Distanz $d$ darstellt. Dementsprechend stellt $\bigl(\begin{smallmatrix} r_2 \\ \alpha_2 \end{smallmatrix}\bigr)$ den Lichtstrahl nach der Ausbreitung dar, der auch durch Multiplikation des ersten Vektors $\bigl(\begin{smallmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{smallmatrix}\bigr)$ mit der Translationsmatrix $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)$ beschrieben werden kann. Es wird bei der Multiplikation deutlich, dass der Strahl seine Neigung zur Achse nicht ändert, da der Winkel gleich bleibt. ===== Ebener Spiegel ===== $$ S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ===== Brechung an ebener Fläche ===== $$ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix},$$ mit $n_1$ und $n_2$ [[d_optikundatomphysik:lexikon&#brechungsindex|Brechzahl]] der optischen Medien vor und nach der Grenzfläche ===== Dünne Linse ===== $$ L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix},$$ mit [[d_optikundatomphysik:lexikon&#brennweite|Brennweite]] f (siehe [[d_optikundatomphysik:linsen|]]) ++++Beispiel| {{ :d_optikundatomphysik:matrizenrechnung.svg |}} ==Berechnung des Systems== Werden mehrerer Berechnungen angestellt, ist es meißt sinnvoll, zunächst die Gesamtmatrix für das vorhandene System zu berechnen. Seien folgende Werte gegeben: * $d_1=5cm$ * $d_2=20cm$ * $f_1=15cm$ * $r=1cm$ Dann ergeben sich darauß folgedne Matrizen: * $L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}$ * $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ * $T_1=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ * $T_2=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Zu berechnen ist also folgendes Gesamtsystems (Von der Lichtquelle bis zum Spiegel und wieder zurück): \begin{eqnarray} M_{ges}&&=T_1*L*T_2*S*T_2*L*T_1\\ M_{ges}&&=\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ M_{ges}&&=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray} Um den auftreffort auf dem Spiegel zu berechnen, muss folgendes System berechnet werden. Dieses mal muss auf die umgekehrte Reihenfolge geachtet werden: \begin{eqnarray} M_{halb}&&=T_2*L*T_1\\ M_{halb}&&=\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ M_{halb}&&=\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & \frac{55}{3} \\ \frac{-1}{15} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray} ==Trivialbeispiel== Ein lichtstrahl trifft auf eine Linse und anschließend auf einen Spiegel. Dabei befindet er sich auf der optischen Achse (In der Abbildung grün eingezeichnet). Der Vektor dieses Lichtstrahls ist also $\vec{G}=\bigl(\begin{smallmatrix} r_g \\ \alpha_g \end{smallmatrix}\bigr)$ mit $r_g=0$ und $\alpha_g=0$. Der Lichtstrahl wird also ledigtlich reflektiert und besitzt nach dem er wieder am ausgangsort angekommen ist den gleichen abstand und Winkel zur optsichen Achse wie am start. ==Auftrittsort des Roten Strahls auf dem Spiegel== Der Vektor für den roten Strahl ist : $$\vec{R}=\bigl(\begin{smallmatrix} r_r \\ \alpha_r \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$$ Um den Auftrittsort am Spiegel zu berechnen muss nun also folgende Operation ausgeführt werden: $$M_{halb}*\vec{R}=\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & \frac{55}{3} \\ \frac{-1}{15} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}*\bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} \frac{-1}{3} \\ \frac{-1}{15} \end{smallmatrix}\bigr)=\vec{R_{neu}}$$ Der Strahl trifft also bei $r_{rneu}=\frac{-1}{3}$ auf den Spieg. Die enspricht einer entfernung von $\frac{-1}{3}$cm zur optischen Achse. Das minus gibt dabei an, das er sich auf der anderen Seite der optischen Achse befindet, da sein ausgangsort als Positiv definiert wurde. Außerdem hat er jetzt einen winkel von $\frac{-1}{15}$, verläuft also nicht mehr parallel zur optischen Achse. Dies ist in der Abbildung erkennbar. ++++