=======Schwingungen=======


=====Harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung=====

====Harmonische Schwingung====
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**Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$$


Schwingungsfunktion:   $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi) $$

In der Schwingungsfunktion ist $x_0$ die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann). $\omega \cdot t +\varphi$ bezeichnet man als die Phase und $\varphi$ alleine ist die Phasenverschiebung.


Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$

Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz $\omega$ nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient $\delta=0$ und fällt somit weg.

$$\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$$




Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist $x_0=1$ und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt $t=\pi$ ($\approx 3.14$). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt $t=2\cdot\pi$ ($\approx 6.28$) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter.
 




====Gedämpfte Schwingung====
[{{ :a_mechanik:gedaempfte_schwingung.png?300|}}]
[{{ :a_mechanik:schwingugnen_mit_verschiendenen_dämpfungen.jpg?300|Hier sieht man die verschiedenen Grenzfälle der gedämpften Schwingung. Diese entstehen durch das Verhältnis von Federkonstanten und Masse zur Dämpfung des Systems $\delta$}}]
**Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. 

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$


Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t) $$

wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder $ x_0 $ die Amplitude, die aber in diesem Fall durch $e^{-\delta t}$ gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt.

Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$






In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä 





====Erzwungene Schwingungen====

**Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillator konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude. Der Verlauf des Graphen ist genau wie bei einer harmonischen Schwingung.

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$$

Auf der rechten steht die Kraft $F_a$ und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen.


Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} \cos (\omega t - \varphi) $$

Die Eigenfrequenz ist nach einer Einschwingzeit gleich der anregenden Frequenz

$$ \omega = \omega_a$$





======Resonanz und Phasenverschiebung======

Als **Resonanz** beschreibt man das verstärkte Mitschwingen eines Systems, dass in der Lage ist zu schwingen. Dabei ist es wichtig wie groß die anregende Frequenz und die Resonanzfrequenz des Systems ist. 

$$x_0=\frac{ \frac{F_a}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+(2\delta \omega_a)^2}}$$

Nähern sich $\omega_0$ und $\omega_a$ immer weiter an, so wird der Nenner minimal und die Amplitude maximal. Im Falle eines umgedämpften Systems ($\delta=0$) wird der Nenner Null und wir erhalten die so genannte Resonatorkatastrophe und das System zerstört sich (Amplitude $x_0=\infty$)  

Man bezeichnet zwei Sinus Funktionen als **Phasenverschoben**, wenn ihre Periodendauer gleich ist, aber der Zeitpunkt ihrer Nulldurchgänge nicht übereinstimmt. Die Periodenlänge muss dabei nicht gleich sein sondern nur ein vielfaches der jeweils anderen.

$$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$